Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2025 Soru 05

[matematikolimpiyati]

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğu verilmiştir. $[AB]$ kenarı üzerinde $K$ ve $L$ noktaları, $K$ noktası $A$ ve $L$ noktaları arasında yer alacak ve $2|CD|=3|BL|=4|AK|$ olacak şekilde alınıyor. $Alan(ABCD)=40$ ve $Alan(BCD)=12$ ise $Alan(KLC)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$|CD|=6k$, $|BL|=4k$, $|AK|=3k$ diyelim. $AB$ ve $CD$ doğrularının arasındaki uzaklık (yükseklik) $h$ olsun. $|KL|=y$ olsun. Bu durumda $$\frac{40}{12}=\frac{\operatorname{Alan}(ABCD)}{\operatorname{Alan}(BCD)}=\frac{\frac{(|AB|+|CD|)\cdot h}{2}}{\frac{|KL|\cdot h}{2}}=\frac{13k+y}{6k}\implies y=7k$$ bulunur. Buradan, $$\frac{\operatorname{Alan}(BCD)}{\operatorname{Alan}(KLC)}=\frac{\frac{6kh}{2}}{\frac{yh}{2}}=\frac{6}{7}\implies \operatorname{Alan}(KLC)=14$$ bulunur.