Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 31

[Metin Can Aydemir]

$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere $x^2 + xy + y^2 = 3$ ise, $x^3y + xy^3 + 6x^2 + 4xy + 6y^2$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad \textbf{b)}\ 18 \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{91}{5} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{73}{4} \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$.

$x^2+y^2=a$  diyelim. $xy=3-a$  olur (Tabi burada Aritmetik-Geometrik Ortalamadan sonda elde edilen değerin $a\geq 2$  koşulunu sağlaması gerekir). Buna göre
$$x^3y+xy^3+6x^2+4xy+6y^2=(3-a)(a+4)+6a=-a^2+5a+12$$
olur. Türev yardımıyla bu ifade maksimum değerine $a=5/2>2$  iken ulaşır ve o değer ise $\dfrac{73}{4}$  tür.