Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 30

[Metin Can Aydemir]

$n^4 - 5n^3 + 26n^2 - 41n + 19$ ifadesinin bir asal sayının tam kuvvetine eşit olmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad \textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{C}$

İfadenin eşiti $(n-1)^2(n^2-3n+19)$'dir. $n-1|n^2-3n+19$ olur ve Öklid algoritmasıyla $n-1|17$ olur. $n=2,18,0,-16$ olabilir. İlk kısımda yerine koyarsak, sırasıyla $1^2\cdot 17,17^2\cdot 17^2,1^2\cdot 19,17^2\cdot 323=17^2\cdot 17\cdot 19$ gelir. İlk üçü koşulu sağlar. Cevap $3$'tür.