Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 27

[Metin Can Aydemir]

Başlangıçta bir mavi kavanozda $\%99$'u nar suyu, $\%1$'i portakal suyu olan $1$ litre homojen sıvı ve bir yeşil kavanozda $\%1$'i nar suyu, $\%99$'u portakal suyu olan $2$ litre homojen sıvı bulunmaktadır. Her işlemde önce yeşil kavanozdan mavi kavanoza $1$ litre sıvı aktarılıp karıştırılıyor, sonra maviden yeşile $1$ litre aktarılıp tekrar karıştırılıyor. En az kaç işlem sonunda nar suyu yüzdeleri arasındaki fark $\%0,1$'den az olur?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad \textbf{b)}\ 5 \qquad \textbf{c)}\ 6 \qquad \textbf{d)}\ 7 \qquad \textbf{e)}\ 8$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Litreleri kolaylık açısından $100$ litre ve $200$ litre gibi düşünebiliriz veya birimi değiştirebiliriz. İlk seçenek üzerinden ilerleyelim. $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ fonksiyonunu şöyle tanımlayalım. $(x,y)$ girdisi $\% x$ nar sulu $100$ litre karışımı (yani $x$ litresi nar) ve $\% y$ nar sulu $200$ litre karışımı ($2y$ litresi nar) temsil etsin. $f(x,y)$ çıktısı da soruda verilen işlemin uygulanması sonucu yeni yüzdeler olsun. İşlemin ilk kısmında $y$ litre nar içeren $100$ litre diğer kaba aktarıldığından artık diğer kapta $x+y$ litre nar vardır. Bunun yarısı da diğer kaba geri aktarıldığından mavi kavanozda artık $\frac{x+y}{2}$ litre nar (yüzde $\frac{x+y}{2}$), diğerinde ise $y+\frac{x+y}{2}=\frac{x+3y}{2}$ litre nar vardır (yani yüzde $\frac{x+3y}{4}$ nar). Dolayısıyla, $$f(x,y)=\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+3y}{4}\right)$$ olacaktır. Nar yüzdesindeki fark $x-y$'den $\frac{x-y}{4}$'e düşer. $99-1=98$ olan baştaki fark, $n.$ işlemden sonra $\frac{98}{4^n}$ olacağından $$\frac{98}{4^n}<0.1\implies n\geq 5$$ olacaktır. Dolayısıyla en az $5$ işlem uygulanmalıdır.