Cevap: $\boxed{B}$
Polinom bölmesi yapalım, $P(x)=x^3+p^4$ olsun. $$P(x)=(x+p^2)Q(x)+R(x)$$ şeklinde yazarsak, kalan $R(x)=P(-p^2)=-p^6+p^4$ olacaktır. Burada $Q$ da tamsayı katsayılıdır ama yine de hesaplayalım. Gerçekten de $$P(x)-P(-p^2)=x^3+p^6=(x+p^2)(x^2-xp^2+p^4)$$ olduğu görülebilir. Sonuç olarak, $$x+p^2\mid x^3+p^4\iff x+p^2\mid p^6-p^4=p^4(p^2-1)$$ $d(k)$ ile $k$'nın pozitif bölenlerinin sayısını gösterirsek, $p^4$ ve $p^2-1$ aralarında asal olduğundan $2d(p^4(p^2-1))=2d(p^4)d(p^2-1)=10d(p^2-1)$ tane $x+p^2$ seçeneği vardır. Her seçenek için tek bir $x$ elde edileceğinden çözüm sayısı $f(p)=10d(p^2-1)$ olmalıdır. $f(2)=10$ ve $f(3)=40$ olduğundan bunlar es geçebiliriz. $p\geq 5$ için $2^3\cdot 3\mid p^2-1$ olduğunu göz önünde bulunduralım. İlk gözlem olarak $d(p^2-1)$'in asal olamayacağı görülebilir, bu da $m=170$ ve $m=190$ olamayacağını gösterir.
$m=150$ ise $d(p^2-1)=15$ elde edilir. $15=3\cdot 5$ olduğundan ve $2^3\cdot 3\mid p^2-1$ olduğundan $p^2-1=2^4\cdot 3^2$ olmalıdır ancak çözüm gelmez. $m=150$ olamaz.
$m=160$ ise $d(p^2-1)=16$ elde edilir. Ufak asallar için denersek, $p=11$ için $d(p^2-1)=d(120)=16$ olduğundan $m=160$ olabilir.
$m=180$ ise $d(p^2-1)=18$ elde edilir. Yine ufak asallar için denersek, $p=17$ için $d(p^2-1)=d(16\cdot 18)=18$ olduğundan $m=180$ olabilir. Sonuç olarak sadece $2$ tane $m$ değeri için $f(p)=m$ olacak şekilde bir $p$ asalı vardır.
