Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 25

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $|AB| > |BC|$ olsun. $D$ noktasından geçen ve $AB$ doğrusuna $B$ noktasında teğet olan çember, $AD$ doğrusunu ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $BE$ ve $CD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $\dfrac{|FC|}{|FD|} = \dfrac{9}{7}$ ise, $\dfrac{|EC|}{|AF|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{7}{9} \qquad \textbf{b)}\ 1 \qquad \textbf{c)}\ \dfrac{5}{4} \qquad \textbf{d)}\ \dfrac{4}{3} \qquad \textbf{e)}\ \dfrac{3}{2}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$CF=9$ ve $BC=9k$ dersek $FD=7$, $DE=7k$.
$AB^2=AD\cdot AE = 9k\cdot 16k = 144k^2 \Longrightarrow AB = 12k$. $AB=CD=12k=16 \Longrightarrow k=\dfrac 43$.
$AD=9k=12$,  $DE=7k=\dfrac{28}3$
$EC^2=DE^2+DC^2=\dfrac{28^2}{3^2}+16^2=\dfrac{28^2+48^2}{3^2}=\dfrac{4^2}{3^2}\cdot (7^2+12^2)$

$AF^2=AD^2+DF^2=12^2+7^2$

$\dfrac{EC}{AF}=\dfrac 43$.

[geo]

$\angle CBF = \angle DEF = \angle ABD = \angle BDC = \angle ACD$.
Buradan $AD^2 = BC^2=CF\cdot CD$ ve $AC \perp BE$. Bu durumda $\triangle ACE$ de $F$ diklik merkezidir. $\triangle AFD \sim \triangle CED$.
$\dfrac{CE}{AF}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CD}{\sqrt{CD\cdot CF}}=\sqrt{\dfrac{CD}{CF}}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac 43$