Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 24

[Metin Can Aydemir]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $3$ ile bölünen ve basamaklarının her biri ya $1$ ya da $2$ olan $n$ basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $f(n)$ olsun. $f(101) - f(99)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2^{100} - 2^{98} \qquad \textbf{b)}\ 2^{99} \qquad \textbf{c)}\ 2^{99} - 1 \qquad \textbf{d)}\ 2^{98} + 2^{96} \qquad \textbf{e)}\ 2^{98} + 1$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{B}$

İlk $n-2$ basamak $2^{n-2}$ şekilde sıralanabilir. Bunların $f(n-2)$ tanesi $3$'ün katı gerisi değildir. Bu kısım $3$'ün katıysa son iki basamağı $1,2$ ve $2,1$ olarak koyabiliriz. Değilse kalana göre $1,1$ veya $2,2$ koyarız. $f(n)=2f(n-2)+1(2^{n-2}-f(n-2))=2^{n-2}+f(n-2)$ gelir. $f(101)-f(99)=2^{99}$ olur.