Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 17

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktalarından geçen ve $[BC]$ kenarına $D$ noktasında teğet olan bir çember, $[BA$ ve $[CA$ ışınları ile üçgenin kenarları dışında sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesişiyor. $|BD| = 6\sqrt{3}$, $|CD| = 18$ ve $|CF| = 27$ ise $|BE|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9\sqrt{3} \qquad \textbf{b)}\ 12\sqrt{3} \qquad \textbf{c)}\ 3\sqrt{6} \qquad \textbf{d)}\ 27 \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$AC$ nin orta noktası $K$, $AB$ nin orta noktası $L$ olsun.
$CD^2=CK\cdot CF \Longrightarrow CK=6$, $KA=6$ ve $AF=3$.
Kuvvetten $BD^2=BL\cdot BE$ ve $LA\cdot AE=KA\cdot AF$.
$BL=LA=x$ ve $AE=y$ dersek $x(2x+y)=108$ ve $xy=36$. $2x^2=72\Longrightarrow x=6$ ve $y=6$. Dolayısıyla $BE=2x+y=18$.