Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 14

[Metin Can Aydemir]

Kaç $n \leq 2025$ pozitif tam sayısı için $3^x - 5^y$ sayısının $n$ ile bölünmesini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif tam sayıları bulunmaz?

$\textbf{a)}\ 405 \qquad \textbf{b)}\ 675 \qquad \textbf{c)}\ 945 \qquad \textbf{d)}\ 1020 \qquad \textbf{e)}\ 1050$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x$ ve $y$ pozitif olduğundan $3^x$ her zaman $3$ ile, $5^y$ de her zaman $5$ ile bölünecektir. Dolayısıyla, eğer $n$ sayısı $3$ veya $5$'e bölünüyorsa $n\nmid 3^x-5^y$ olacaktır çünkü terimlerden biri $3$ veya $5$'e bölünürken diğeri bölünmeyecektir. $3$ veya $5$ ile bölünen, $2025$'den küçük $$\left\lfloor \frac{2025}{3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{2025}{5}\right\rfloor-\left\lfloor \frac{2025}{15}\right\rfloor=675+405-135=945$$ sayı vardır. $(n,3)=(n,5)=1$ ise $x=y=\phi(n)$ seçersek, Euler teoreminden $$3^{\phi(n)}-5^{\phi(n)}\equiv 1-1\equiv 0\pmod{n}$$ olacağından aradığımız tamsayılar $3$ veya $5$'e bölünen sayılardır. Bunların sayısı da yukarıda bulduğumuz gibi $945$'dir.