Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 09

[Metin Can Aydemir]

$\widehat{B}$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$'den farklı bir $D$ noktası alınıyor. $[AD]$ doğru parçasının orta dikmesi $[AC]$ kenarını $E$ noktasında kesiyor. $|AE| = 2|BD|$ ve $m(\widehat{EAD}) = 36^\circ$ ise, $m(\widehat{ACB})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 18^\circ \qquad \textbf{b)}\ 27^\circ \qquad \textbf{c)}\ 30^\circ \qquad \textbf{d)}\ 45^\circ \qquad \textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$[AC]$ üzerinde $AD=AF$ olacak şekilde $F$ noktası alalım. $DF$ nin orta noktası $M$ olsun.
$\angle ADF = \angle AFD =\angle DEF = 72^\circ$. Dolayısıyla $DF=DE=AE=2\cdot BD \Longrightarrow BD=DM$. $\angle AMD = 90^\circ$ olduğu için $\angle BAD =\angle MAD = 18^\circ$ ve $\angle ACB = 36^\circ$.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{E}$.

$AE=2\cdot BD$  olduğundan $AC=4 \cos 36^{\circ}\cdot AE$ dir. $\angle ADB=\alpha$  olsun. $\cos \alpha=AD/AE=4 \cos 36^{\circ}$  dir. $\sin 18^{\circ}\cdot \sin 36^{\circ}=\dfrac{1}{4}$  eşitliği kullanıldığında $\cos \alpha=\sin 18^{\circ}$olup $\angle ADB=72^{\circ}$  elde edilir. Dolayısıyla $\angle ACB=36^{\circ}$  bulunur.