Tübitak Lise 1. Aşama 2025 Soru 06

[Metin Can Aydemir]

$n = 195, 196, 197, 198, 199, 200$ sayılarından kaç tanesi için $$1^n + 2^{n-1} + 3^{n-2} + \cdots + n^1$$ sayısı $3$ ile bölünür?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4\qquad\textbf{d)}\ 5\qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Toplama $S$ diyelim. Terimler $k^{n-k}$ formatındadır. Bunların $3$ modunda verdiği kalan $$k^{n-k}\equiv \boxed{\begin{cases} 0&\text{ eğer }k\equiv 0\pmod{3},\\ 2&\text{ eğer }k\equiv 2\pmod{3}\text{ ve }k\equiv n+1\pmod{2},\\ 1&\text{ diğer durumlarda.}\end{cases}}\pmod{3}$$ olduğundan ardışık $6$ terim için bir tane $2$ kalanı veren, $3$ tane $1$ kalanı veren sayı olacağından $$\sum_{k=m}^{m+5}k^{n-k}\equiv 2\pmod{3}$$ olacaktır. Verilen $n$ değerleri sırasıyla, $6\cdot 32+3,6\cdot 32+4,6\cdot 32+5,6\cdot 33,6\cdot 33+1,6\cdot 33+2$ formatındadır.

$n=195=6\cdot 32+3$ ise $$S\equiv 32\cdot 2+195^1+194^2+193^3\equiv 0\pmod{3}$$ olduğundan istenilen sağlanır.

$n=196=6\cdot 32+4$ ise $$S\equiv 32\cdot 2+196^1+195^2+194^3+193^4\equiv 2\pmod{3}$$ olduğundan istenilen sağlanmaz.

$n=197=6\cdot 32+5$ ise $$S\equiv 32\cdot 2+197^1+196^2+195^3+194^4+193^5\equiv 0\pmod{3}$$ olduğundan istenilen sağlanır.

$n=198=6\cdot 33$ ise $$S\equiv 33\cdot 2\equiv 0\pmod{3}$$olduğundan istenilen sağlanır.

$n=199=6\cdot 33+1$ ise $$S\equiv 33\cdot 2+199^1\equiv 1\pmod{3}$$olduğundan istenilen sağlanmaz.

$n=200=6\cdot 33+2$ ise $$S\equiv 33\cdot 2+200^1+199^2\equiv 0\pmod{3}$$olduğundan istenilen sağlanır. Dolayısıyla, $n=195,197,198,200$ için $S$, $3$ ile bölünür.

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{D}$

$6k+1,3,5$ için toplam $2k+1,2,2\pmod3$ olur. $195,197,199$ sayıları bu şekilde $66,66,67$ olur. $6k+0,2,4$ için toplam $2k+0,0,1$ olur ve $196,198,200≡65,33,66$ olur. $195,197,198,200$ sayıları için toplam $3$'e bölünür.