$\left(\frac{\cdot}{p}\right)$ Legendre sembolü olmak üzere bize $\left(\frac{r}{p}\right)=\left(\frac{r+m}{p}\right)=0$ olan $r\in\{1,2,\dots,p-1\}$ sayısı soruluyor. Cevabın $m$ değişkeni açısından periyodik olduğu barizdir. Yani $(m,p)$ için cevap $N$ ise $(m+p,p)$ için de $N$ olacaktır. Dolayısıyla, genelliği bozmadan $-p<m<0$ kabul edebiliriz. Bu durumda $r\in\{1,2,\dots, p-1\}-\{-m\}$ için incelemeliyiz. Bu değerler için de $\left(\frac{r}{p}\right)$ ve $\left(\frac{r+m}{p}\right)$ değerleri ya $1$ ya da $-1$'dir, $0$ olamaz. Eğer $\delta_Q(n)=\frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{n}{p}\right)\right)$ şeklinde bir indikatör fonksiyon tanımlarsak, bu fonksiyon, $n$ karekalansa $1$, değilse $0$ değeri verecektir. Dolayısıyla, hem $r$'nin, hem de $r+m$'nin karekalan olduğu çiftlerin sayısı $$N=\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\delta_Q(r)\delta_Q(r+m)=\frac{1}{4}\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(1+\left(\frac{r}{p}\right)\right)\left(1+\left(\frac{r+m}{p}\right)\right)=\frac{1}{4}\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(1+\left(\frac{r}{p}\right)+\left(\frac{r+m}{p}\right)+\left(\frac{r(r+m)}{p}\right)\right).$$ Toplamları ayırırsak, $$\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}1=p-2,$$ $$\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)=-\left(\frac{-m}{p}\right)+\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)=-\left(\frac{-m}{p}\right),$$ çünkü tam olarak $\frac{p-1}{2}$ tane karekalan, $\frac{p-1}{2}$ tane de karekalan olmayan sayı var. $$\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{r+m}{p}\right)=\sum_{\underset{r\neq m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)=-\left(\frac{m}{p}\right)$$ elde edilir. Sonuncu toplam için farklı bir metot kullanacağız. $\bar r$ ile $r$'nin $p$ modundaki tersini gösterirsek, $\left(\frac{\bar r^2}{p}\right)=1$ olduğundan, $$\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{r(r+m)}{p}\right)=\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{\bar r^2}{p}\right)\left(\frac{r(r+m)}{p}\right)=\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{1+m\bar r}{p}\right)$$ olur. Önce $k=m\bar r$ dönüşümü yapalım. Toplam artık $r\in \{1,2,\dots, p-1\}-\{-m\}$ üzerinden $k\in\{1,2,\dots, p-2\}$'ye dönüşür. Dolayısıyla, bu toplam $$\sum_{\underset{r\neq -m}{r=1}}^{p-1}\left(\frac{r(r+m)}{p}\right)=\sum_{k=1}^{p-2}\left(\frac{1+k}{p}\right)=-\left(\frac{1}{p}\right)+\sum_{k=0}^{p-2}\left(\frac{1+k}{p}\right)=-1+\sum_{k=1}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)=-1$$ bulunur. Sonuç olarak, $$N=\frac{1}{4}\left(p-3-\left(\frac{-m}{p}\right)-\left(\frac{m}{p}\right)\right)$$ elde ederiz.
$m=1$ seçersek, daha önce
Ardışık Karekalanlar konusunda elde ettiğimiz sonuca ulaşırız. Orada $0$'ı karekalan saymıştık. Ayrıca aynı metotu kullanarak, $r$ ve $r+m$'nin aynı anda karekalan olmadığı veya birinin karekalan, diğeri değil gibi durumları da hesaplayabiliriz. Hatta $r+m$ yerine daha farklı bir $f(r)$ üzerinden de bir hesaplama yapılabilir.
