Üçgenin kenarları üzerinde başka bir üçgen

[geo]

$ABC$ üçgeninin $BC, CA, AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $D,E,F$ noktaları $BD=20$, $DC=15$, $CE=13$, $EA=8$, $AF=6$, $FB=22$ olacak şekilde alınıyor. $\angle EDF$ kaç derecedir?

[geo]

$A(0,0)$, $B(28, 0)$, $C(0,21)$, $E(0,8)$, $F(6,0)$ ve $D(12,12)$.

$m_1 = m(DF) = \dfrac {12}{12 - 6} = 2$.

$m_2 = m(DE) = \dfrac {12 - 8}{12} = \dfrac {1}{3}$.

$\tan \angle EDF = \dfrac {m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} = \dfrac {2 - \dfrac 13}{1 + 2 \cdot \dfrac 13} = 1 \Longrightarrow \angle EDF = 45^\circ$.

[geo]

$[AB]$ üzerinde $AF' = AE = 8$ olacak şekilde $F'$, $[BC]$ üzerinde $CD' = CE = 13$ olacak şekilde $D'$ noktası alalım.
$BD' = BF = 22$, $FF' = DD' = 2$, $BF' = BD = 20$ olacaktır.
Bu durumda, $\angle EF'A = 45^\circ$, $\angle ED'F = 180^\circ - (90^\circ - \angle C / 2 ) - (90^\circ - \angle A / 2) = \dfrac {\angle A + \angle B}{2} = 45^\circ$. Dolayısıyla $ED'F'F$ bir kirişler dörtgenidir.
Öte yandan, $DD'FF'$ bir ikizkenar yamuk olduğu için, o da kirişler dörtgenidir.
Yani, $DD'EFF'$ kirişler beşgeninde $\angle EDF = \angle ED'F = \angle EF'F = 45^\circ$ dir.

[geo]

$D$ den $EC$, $EF$, $FB$ ye inilen dikmelerin ayakları, sırasıyla $P$, $Q$ ve $R$ olsun.
$\triangle DPC$ dik üçgeninde Pisagor'dan $DP=12$, $CP=9$, $PE = 4$.
$\triangle DRB$ dik üçgeninde Pisagor'dan $DR=12$, $BR=16$, $RF=6$.
$DF^2 - DE^2 = (DR^2 + RF^2) - (DP^2 + PE^2) = 6^2 - 4^2 = (6+4)(6-4) = 20$
$DF^2 - DE^2 = QF^2 - QE^2 = (QF + QE)(QF - QE) = EF \cdot (QF - QE) = 10(QF - QE) = 20$ $\Longrightarrow QF = 6$ ve $DQ = 12$.
Bu durumda $D$ noktası, $AEF$ dik üçgeninin $A-$dış merkezidir. $\angle EDF = 90^\circ - \angle BAC / 2 = 45^\circ$ olur.

[geo]

$D$ den $EC$, $EF$, $FB$ ye inilen dikmelerin ayakları, sırasıyla $P$, $Q$ ve $R$ olsun.
$\triangle DPC$ dik üçgeninde Pisagor'dan $DP=12$.
$\triangle DRB$ dik üçgeninde Pisagor'dan $DR=12$.

$\dfrac {[DEF]}{[ABC]} = \dfrac {20\cdot 13 \cdot 6 + 15\cdot 8 \cdot 22}{21 \cdot 28 \cdot 35} = \dfrac {10 \cdot DQ}{21 \cdot 28}$

$DQ = \dfrac {120(13 + 22)}{10 \cdot 35} = 12$.

Bu durumda $D$ noktası, $AEF$ dik üçgeninin $A-$dış merkezidir. $\angle EDF = 90^\circ - \angle BAC / 2 = 45^\circ$ olur.

[geo]

$BA/CA = \dfrac {28}{21} = \dfrac {4}{3} = \dfrac {20}{15} = BD/CD$ olduğu için $AD$, $\angle EAF$ nin iç açıortayıdır.

$DF$ ile $CA$, $G$ de kesişsin. $D$ den $CA$ ya inilen yüksekliğin ayağı $P$ olsun.
$\triangle DCP$ dik üçgeninde Pisagor'dan $DP = 12$, $PC=9$, $EP=4$.
$AF/DP = 6/12 = 1/2$ olduğu için $GA = AP = 8+4 = 12$ elde edilir.
$FA/FE = 6/10 = 12/20 = GA/GE$ olduğu için $FG$, yani $DF$, $\triangle AFG$ de dış açıortaydır. Bu durumda $D$, $\triangle AFE$ de $A-$ dış merkez olacaktır.
$\angle EDF = 90^\circ - \angle EAF / 2 = 45^\circ$.

[geo]

Bu sorunun daha geneli:

$ABC$ üçgeninde $BC, CA, AB$ kenarları üzerinde $BD+AE = AB$ ve $BF+ CE = BC$ olacak şekilde sırasıyla $D,E,F$ noktaları alalım. $\angle EDF = 90^\circ - \dfrac {\angle BAC}{2}$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Genel halinin çözümü:

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $BC, CA, AB$ kenarlarına sırasıyla $T_A, T_B, T_C$ noktalarında dokunsun.

$BT_A + AT_B = BT_C + AT_C = AB = BD + AE \Longrightarrow DT_A = BD  - BT_A = AT_B - AE = ET_B$.
Benzer şekilde $FT_C = ET_B$, dolayısıyla $DT_A = ET_B = FT_C$.

$D$ nin $T_A$ ya göre simetriği $D'$, $F$ nin $T_C$ ye göre simetriği $F'$ olsun.
$DD'FF'$ ikizkenar yamuk olduğu için bir kirişler dörtgenidir.
$\angle EF'A = 90^\circ - \dfrac {\angle A}{2}$.
$\angle ED'F = 180^\circ - \angle BD'F - \angle ED'C = 180^\circ - \left (90^\circ - \dfrac {\angle B}{2} \right ) - \left (90^\circ - \dfrac {\angle C}{2} \right ) = \dfrac {\angle B + \angle C}{2}$ $= \dfrac {180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \dfrac {\angle A}{2}$ olduğu için $\angle EF'A = \angle ED'F$, dolayısıyla $D', F, F', E$ noktaları çemberseldir.
Bu durumda, $D, D', F, F', E$ noktaları çembersel, dolayısıyla $\angle EDF = \angle ED'F = 90^\circ - \dfrac {\angle A}{2}$.

Biraz daha ileri gidersek, $\triangle DEF \sim \triangle T_AT_BT_C$ olduğunu görürüz.