ekok(1,2,..,n)

[geo]

Her $n$ pozitif tam sayısı için $a_n=\text{ekok}(1,2,\ldots , n)$ olsun. $\{a_n\}$ dizisinde aynı değere sahip $2025$ ardışık terim var mıdır?

[Metin Can Aydemir]

$\Lambda$, von Mangoldt fonksiyonu olsun, yani $\Lambda:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{C}$ ve $$\Lambda(n)=\begin{cases}\log p,&\text{eğer }p\text{ bir asal olmak üzere }n, p\text{'nin bir kuvveti ise,}\\ 0,&\text{diğer durumlarda.}\end{cases}$$ İddiamız $$\sum_{k=1}^{n}\Lambda(k)=\log\left(\operatorname{EKOK}(1,2,\dots,n)\right)$$ olduğudur. Bunu da tümevarımla kolayca gösterebiliriz. $n=1$ için eşitlik doğrudur. $n=1,2,\dots,m-1$ için doğru olsun.

$m$ bir asal sayının kuvveti değilse, $m$'nin en az iki asal çarpanı vardır. Tüm bu asal çarpanlar (kuvvetleriyle beraber), $m$'den küçük olduğundan $1,2,\dots,m-1$ içinde bulunur. Dolayısıyla, $m$'nin ekok'a bir etkisi yoktur ve $$\log\left(\operatorname{EKOK}(1,2,\dots,m)\right)=\log\left(\operatorname{EKOK}(1,2,\dots,m-1)\right)=\sum_{k=1}^{m-1}\Lambda(k)=\sum_{k=1}^{m}\Lambda(k)$$ olacaktır.

$m=p^t$ formatında ise $p^{t-1}$ zaten $1,2,\dots, m-1$ içinde olduğundan $$\operatorname{EKOK}(1,2,\dots,m)=p\operatorname{EKOK}(1,2,\dots,m-1)$$ olacaktır. Buradan da eşitliğin sağlandığı kolayca görülebilir. Dolayısıyla, soru şu hale döner; Hiçbiri bir asal sayının kuvveti olmayan ardışık $2025$ pozitif tamsayı var mıdır?

Cevap: Evet. Spesifik bir dizi vermek zor ama bazı fikirleri düşünelim. Öncelikle istediğimiz uzunlukta ve arasında hiçbir asal sayının kuvvetinin olmadığı bir dizi elde edebiliriz çünkü Chebyshev teoremi olarak da bilinen "Prime Number Theorem"'in basit hali bize şunu söylüyor, $$x\text{'e kadar olan asal sayı kuvvetlerinin sayısı}\ll \frac{x}{\log x}.$$ Eğer iki asal kuvvetin arasındaki fark en fazla $M$ olabiliyor olsaydı $$\frac{x}{M}\leq x\text{'e kadar olan asal sayı kuvvetlerinin sayısı}\ll \frac{x}{\log x}$$ olurdu bu da bir çelişkidir.

Chebyshev teoremi, sayılar teorisinde "akademik olarak" basit ve bilinen bir teorem olduğundan bu doğru ve yeterli bir ispat olarak sayılabilir. Ancak daha lise seviyesinde bir ispat vermeye çalışalım. $n=2^{2m}$ olsun. $1$'den $n$'ye kadar $f(n)$ tane bir sayının kuvveti bulunsun. Bu aralıktaki her sayının kuvvetinin $2m$'den az olacağı barizdir. En fazla da bir sayının karesi olabilir. $2^m$ tane tam kare vardır, $2^m$'den daha az miktarda tamküp vardır ve bu şekilde $2m$'ye kadar gidebiliriz. Yani, en abartılı ihtimalde bile, $2m\cdot 2^m$ tane tam kuvvet bulunacaktır. $$f(n)\leq m\cdot 2^{m+1}\implies \frac{2^{2m}}{m\cdot 2^{m+1}}=\frac{2^{m-1}}{m}\leq \frac{n}{f(n)}$$ bulunur. Tüm tam kuvvetler, en iyi ihtimalle birbirinden eşit uzaklıkta olsalar bile aralarındaki en uzak mesafe en az $\frac{n}{f(n)}\geq \frac{2^{m-1}}{m}$ olacaktır.  Daha rastgele dağıldığından bu mesafeden bile fazla olması gerekir. $$2^{m-1}\geq 2025m$$ seçersek ardışık $2025$ tane, hiçbiri bir sayının tam kuvveti olmayan tamsayılar bulabiliriz. Üstel fonksiyon, lineere göre çok daha hızlı arttığından böyle bir $m$ bulabiliriz, dolayısıyla, $\{a_n\}$ dizisinde aynı değere sahip istediğimiz uzunlukta ardışık terim vardır.

[geo]

$p$ asal sayısı ve $\alpha$ pozitif tam sayısı için $n=p^\alpha$ şeklinde ise $a_{n}=p\cdot a_{n-1}$ dir. Çünkü $p^{\alpha-1}\leq n-1<n$, dolayısıyla $p^{\alpha-1}\mid a_{n-1}$.
$n$ bir asal sayının tam kuvveti değilse, $n$ nin birden fazla asal çarpanı olacaktır. Bu asal çarpanlardan her biri için $p_i^{\alpha_i}\leq n-1<n$ olacağından $a_n=a_{n-1}$ olacaktır.

$2025$ ten küçük asal sayılar $p_1, p_2, \ldots, p_{m}$ olsun. (Aslında $m=306$; ama burada gerekli değil.)
$n=a_{2025}\cdot p_1 \cdot p_2\cdots p_{m}$ ve $a_{n+1}=a$ olsun.
$2\leq k \leq 2025$ için $n+k=a_{2025}\cdot p_1 \cdot p_2\cdots p_{m}+k$ sayılarının hiçbirisi bir asal sayının tam kuvveti olamaz.
Olduğunu varsayalım. $k\mid (n+k)$ olduğu için $k=p^\alpha$ şeklinde olmalı. $n+k=p^\alpha(p\cdot K + 1)$.
$pK+1$ sayısı $p$ ile bölünmediği için $n+k$ sayısı $p$ in tam bir kuvveti olamaz.
Bu durumda $a=a_{n+1}=a_{n+2}=\ldots = a_{n+2025}$ sayıları eşittir.

[geo]

Hangi $k$ sayıları için $a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}$ ün hepsi birbirinden farklıdır?