Çözüm. (Yağız Gündoğan) $\omega$; $AB,AC$ ye sırasıyla $E,F$ de değsin. $BFEC$ dörtgeninin Miquel Noktası $T$ olsun.
İddia. $T,A,Z,E,F,I$ çemberdeş.
İspat. Teğetliklerden ötürü $IE\perp AE$ ve $IF\perp AF$ sağlanır. Bu sebeple $A,E,F,I$ çemberdeştir. Parallelikten ötürü $BC\perp IZ\perp AZ$ sağlanır. Dolayısıyla $Z\in (AIEF)$ olmalıdır. Son olarak $T$ spiral homoteti merkezi olduğundan $T\in (AEF)$ sağlanır. İspat biter.
İddia. $T,X,Y,Z$ çemberdeş.
İspat. $EF\cap BC=\{S\}$ olsun. $T$ Miquel Noktası olduğundan ötürü $S,E,B,T$ ve $S,F,C,T$ çemberdeştir. $XY$ doğru parçasının orta noktası $M$ ise $B,E,I,M$ çemberdeştir. Açı yazılırsa
$$\angle{ZTE}=\angle{EIM}=\angle{EBS}=180-\angle{STE}\Leftrightarrow \overline{S-T-Z} \text{ doğrudaştır.}$$
elde edilir. $(EFXY),(TZEF),(XYZ)$ çemberlerinde Radikal Aksis Teoremi'nden
$$TZ\cap EF\cap BC=\{S\}\Leftrightarrow TZ,EF,XY \text{ noktadaştır.}\Leftrightarrow T\in (XYZ)$$
bulunup ifade ispatlanır.
Son iddiadan ötürü $T\in (XYZ)\cap (ABC)$ sağlanır.
İddia. $(XYZ)$, $(ABC)$ ye $T$ de içten teğettir.
İspat. $\triangle{XYZ}$ ikizkenar $\Rightarrow IZ$ doğrusu çap doğrusudur ve $IZ\perp AZ$ $\Rightarrow$ $AZ$ doğrusu $(TXYZ)$ ye teğettir. Shooting Lemma'dan ötürü $AZ\cap(ABC)=\{Z'\}$ ise
$$\text{İddia doğrudur.}\Leftrightarrow TZ\cap (ABC), AZ' \text{ yayının orta noktasıdır.}$$
$AZ'\parallel BC$ olduğundan $TZ\cap (ABC)=\{N\}$ dersek $N$ nin $BAC$ yayının orta noktası olduğunu ispatlamak soruyu bitirecektir. Öte yandan $AE=AF$ ve $IE=IF$ olduğundan $AI$, $\angle{BAC}$ nin açıortayıdır. $AI\cap (ABC)=\{K\}$ dersek $N$ ve $K$ antipod olduğunu, başka bir deyişle $\angle{KTN}=90$ açı eşitliğini ispatlamamız gerektiğini görürüz. Açı yazılırsa
$$\angle{KTN}=\angle{ATK}-\angle{ATN}=(180-\angle{ACK})-\angle{ATN}=\frac{A}{2}+B-\angle{ATN}=90\Leftrightarrow \angle{ATN}=\frac{B-C}{2}$$
$$\angle{ATN}=\angle{ATZ}=\angle{AIZ}=90-\angle{ZAI}=90-\angle{Z'AI}=90-(\angle{CAZ'}+\angle{CAI})=\frac{B-C}{2}$$
bulunur, ispat biter. $\blacksquare$
