Fermat Sayısı ve Bölenleri

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki problemi, bir yapay zeka geliştirme görevinde kullanmak üzere hazırlamıştım. Amaç, YZ nin hata yapacağı düzeyde zorlu olabilecek bir soru yazarak sonrasında modeli doğru çözüm tekniği ile eğitmektir.


Problem [Lokman Gökçe]: $2^{64} + 1$ sayısının pozitif bölenleri $d_1<d_2<d_3<\cdots < d_n$ olarak listeleniyor. $d_2 + d_3$'ün $128$ ile bölümünden kalan kaçtır?

[Metin Can Aydemir]

$2^{64}+1$'in asal olmadığı kabulüyle başlayalım, aksi takdirde soru hatalıdır. Tabi $F_6=2^{2^6}+1$ fermat sayısının bir asal sayı olmadığı bilinmektedir. $m\geq 2$ olmak üzere, $p_1<p_2<\cdots<p_m$ asalları $F_6$'nın asal bölenleri olsun. Bu asallar tektir. $2$'nin $p_i$ modundaki mertebesi $d_i$ olsun. $d_i\mid p_i-1$'dir. Ayrıca $$2^{64}\equiv -1\pmod{p_i}\implies d_i\nmid 64,$$ $$2^{128}\equiv 1\pmod{p_i}\implies d_i\mid 128$$ elde edilir. Tek olası $d_i$ değeri $d_i=128$'dir. Dolayısıyla, $$128\mid p_i-1\implies p_i\implies 1\pmod{128}$$ elde edilir. $F_6$'nın tüm pozitif bölenleri asalların çarpımı olduğundan, her $i$ için $d_i\equiv 1\pmod{128}$ olacaktır. Buradan $d_2+d_3\equiv 2\pmod{128}$ bulunur.