Bangladeş 2025'ten iki geometri sorusu (Problem 2 ve 6)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem 2.
$ABC$  üçgeninde $O$  ve $H$  sırasıyla çevrel çember ve diklik merkezi olsun. $AD$, $BE$  ve $CF$  üçgenin yükseklikleri olsun. $A$  noktasının $EF$ 'ye göre simetriği $A'$  ise $HOA'D$  dörtgeni çemberseldir, gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem 6
$\omega_1$  ve $\omega_2$  çemberleri $X$  ve $Y$ 'de kesişiyor. Üçüncü bir çember $\omega_3$  ise $\omega_1$  ve $\omega_2$  çemberlerine içten sırasıyla $P$  ve $Q$  da teğet olsun. $XY$  doğru parçası $\omega_3$  ü $M$  ve $N$  noktalarında kesiyor. $[PM$  ve $[PN$  ışınları $\omega_1$  i $A$  ve $D$  de, $[QM$  ve $[QN$  ışınları ise $\omega_2$  yi $B$  ve $C$  de kessin. $AB=CD$  olduğunu gösteriniz.

[geo]

Problem 2
 
$AH$ nin orta noktası $O'$ olsun. $O'$, $(AEF)$ nin çevrel merkezidir.
$AO\cap EF =\{D'\}$ olsun. $AD'\perp EF$. $AD'=A'D'$.
$D'O'\parallel A'H$.

$\triangle ABC \sim \triangle AEF$ olduğu için $ \angle ADO = \angle AD'O' = \angle AA'H =\angle OA'H $. Bu da $HOA'D$ yi kirişler dörtgeni yapar.

Alternatif olarak benzerlik oranı ve $A$ noktasının söz konusu kirişler dörtgenine göre kuvvetinden de çözüm yapılabilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem 2

Elinize sağlık hocam ben de kuvvet ile yaptığım çözümü paylaşayım. $A-A'-O$  doğrusallığını biliyoruz
$$\angle OAC+\angle EFA=\dfrac{\pi-\angle AOC}{2}+\angle ABC=\pi/2$$
Öte yandan $\angle A'EC=2\angle OAC=\pi-\angle A'OC$  olduğundan $ECA'O$  çemberseldir. $AE.AC=AA'.AO=AH.AD$  olduğundan $HOA'D$  çembersel elde edilir.

[geo]

Problem 6

$\omega_1$ in merkezi $O_1$, $\omega_2$ nin merkezi $O_2$ olsun. $\omega_1$ e $P$ de teğet olan doğru $AB$ yi $E$ de kessin.
$QM\cdot MB = XM\cdot MY = PM\cdot MA$.
Bu durumda $ABPQ$ kirişler dörtgeni ve $\angle BAM = \angle PQM =\angle MPE$. Bu durumda $EA=EP$.
$O_1AEP$ bir deltoid olduğu için $\angle O_1AE = \angle O_1PE=90^\circ$. $O_1A\perp AB$.
Benzer şekilde $O_2B \perp AB$ elde edilir. Bu durumda $AB$, $\omega_1$ ile $\omega_2$ nin ortak teğetidir.
Yine benzer şekilde $CD$ diğer ortak teğettir. Bu da $AB=CD$ demektir.