Daha küçük bir $n$ olmadığını göstermek için modülo 25 ve modülo 71 içinde uygun bir $x$ primitif kökünün olduğunu da göstermek gerekir. Bu kısmını da Metin Can'a havale ediyorum 
Primitif kök teoremi zaten $25$ ve $71$ modunda primitif kök olduğunu söylüyor. Çin kalan teoreminden hem $25$ modunda hem de $71$ modunda primitif olacak şekilde bir $x$ tamsayısı vardır. $x^{140}\equiv 1\pmod{1775}$ olduğunu zaten Lokman hocam ispatladı. Eğer $x^n\equiv 1\pmod{1775}$ ve $n\leq 140$ ise $$x^n\equiv 1\pmod{25}\implies 20\mid n$$ $$x^n\equiv 1\pmod{71}\implies 70\mid n$$ olacağından $140\mid n$'dir. Buradan da $n=140$ bulunur. Yani mertebesi $1775$ modunda $140$ olan bir tamsayı vardır.
Bu sayıyı direkt bulmamı istiyorsanız, elle denemek veya bilgisayara sormak lazım. Ben sordum, $25$ modundaki primitif kök $2$, $71$ modundaki primitif kök ise $7$'ymiş. Yani $1427$ sayının $1775$ modundaki mertebesi $140$'dır.
Euler teoreminden daha iyisi, Çin kalan teoremi + Euler teoremidir. Bundan daha iyisi de mertebeyi hesaplamaktır ama çoğu zaman mertebe hesabının da güçlükleri vardır. Çarpımsal mertebe'nin tanınımdan dolayı, mertebe'den daha iyisi yoktur .
O zaman şöyle bir soru sorayım;
Problem: Her $(x,1088)=1$ için $x^n\equiv 1\pmod{1088}$ olmasını sağlayan en küçük pozitif $n$ tamsayısı kaçtır?
