Köklü sayılar sıralama

[alpercay]

$x=\sqrt[7]{13}+\sqrt[6]{13}$,  $y=\sqrt[5]{13}+\sqrt[8]{13}$ , $z=\sqrt[3]{13}+\sqrt[10]{13}$  sayılarını sıralayınız.

 

[Metin Can Aydemir]

$t\in (0,13)$ aralığında tanımlı $f(t)=13^{\frac{1}{t}}+13^{\frac{1}{13-t}}$ fonksiyonunu yazarsak, $x=f(6)$, $y=f(5)$ ve $z=f(3)$ olacaktır. Tahmin yürütmek gerekirse $f(13-t)=f(t)$ olduğundan fonksiyon $t=\frac{13}{2}=6.5$'ye göre simetriktir. $t=0$ noktasında, daha doğrusu limitinde $$f(0^+)=13^{+\infty}+13^{1/13}=\infty$$ olacağından $(0,6.5)$ aralığında azalan, $(6.5,13)$ aralığında da artan olduğunu "tahminde" bulunabiliriz. Bu tahmine göre $z>y>x$ olacaktır.

Tahmini ispatlamak için fonksiyonun sadece $t=6.5$ noktasında türevinin $0$ olduğunu göstermek yeterlidir. $$f'(t)=\ln 13\left[\frac{13^{\frac{1}{13-t}}}{(13-t)^2}-\frac{13^{\frac{1}{t}}}{t^2}\right]$$ elde edilir. $t=6.5$ için $f'(t)=0$ olduğu görülebilir. Eğer $t>6.5$ ise $$t^2>(13-t)^2\text{  ve  }13^{\frac{1}{13-t}}>13^{\frac{1}{t}}\implies f'(t)>0$$ olur, benzer şekilde $t<6.5$ ise $f'(t)<0$ olur. Bu da ispatı bitirir.

[geo]

$f(x)=13^{1/x}$, $f^\prime (x) = -\dfrac{13^{1/x}}{x^2}$.

$x>0$ iken $f(x)$ azalan, $f^\prime (x) <0$ ve $|f^\prime (x)|$ artandır. Bu da $f$ nin $x$ artıkça azalma hızının düştüğü anlamına gelir.

O halde $f(3)-f(5) >f( 8 )-f(10)$ ve $f(5)-f(6)>f(7)-f( 8 )$, dolayısıyla $z>y>x$.

[alpercay]

Lisans düzeyinde hiperbolik fonksiyonlar kullanılarak şöyle bir çözüm de verilebilir:

$f(x)=13^{1/x}+13^{1/13-x}$ olsun.  $x=\dfrac{13+t}{2}$ dönüşümü ile $$f(t)=169^{1/13+t}+169^{1/13-t}=169^{13-t/169-t^2}+169^{13+t/169-t^2}$$   $$f(t)=169^{13/169-t^2}(169^{-t/169-t^2}+169^{t/169-t^2})$$  olarak yazılabilir.

$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$  eşitliğini kullanalım:

$e^x=169^{t/169-t^2}$  dersek  $x=\dfrac{t\ln 169}{169-t^2}$ olacağından $$f(t)=2\cdot 169^{13/169-t^2}\cdot \cosh (\dfrac{t\ln 169}{169-t^2})$$   elde olunur. Her iki çarpan da $0\le t\lt 13$ aralığında  ($6,5\le x\lt 13$) kesin artandır. Buna göre $z=f ( 10 )$,  $y=f ( 8 )$ ve 

$x=f(7)$  olduğundan $z>y>x$ olmalıdır.