Teğetler dörtgeninde iki açı iki kenar

[geo]

$ABCD$ teğetler dörtgeninde $m(\widehat A)=m(\widehat B)=120^\circ$, $|AB|=4$ ve $|BC|=5$ ise $\text{Çevre}(ABCD)$ nedir?

[alpercay]

Teğetler dörtgenini köşeleri $A(0,0)$   ve $B(4,0)$ olacak şekilde koordinat düzlemine yerleştirelim. Bu durumda, $|AD|=x$ dersek $\angle A=\angle B=120^\circ$ bilgisi kullanılarak diğer köşelerin koordinatları $C(\dfrac {13}{2},\dfrac{5\sqrt 3}{2})$  ve  $D(\dfrac{-x}{2},\dfrac{x\sqrt 3}{2})$ olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden,

$|CD|=\sqrt{x^2-x+61}$  ve teğetler dörtgeninden $$4+|CD|=5+x$$ $$4+\sqrt{x^2-x+61}=5+x$$  ve $x=20$ bulunur.

$|CD|=1+x=21$ olacağından $\text{Çevre} (ABCD)=50$ bulunur.

[geo]

$DA$ ile $CB$ doğruları $E$ de kesişsin. $\triangle ABE$ eşkenardır.
$AD=x$ dersek teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamından $CD=x+1$ olacaktır.
$\triangle DEC$ üçgeninde Kosinüs Teoreminden
$(x+4)^2+9^2-2\cdot(x+4)\cdot 9 \cdot \dfrac 12 = (x+1)^2$

$x^2+8x+16+81-9x-36=x^2+2x+1 \Longrightarrow 3x =60 \Longrightarrow x=20$

Bu durumda $\text{Çevre}(ABCD)=50$ elde edilir.

[geo]

$ABCD$ nin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. İç teğet çember $AB, BC, CD, DA$ kenarlarına sırasıyla $K,L,M,N$ noktalarında dokunsun.
$AIB$ eşkenar üçgendir. Bu durumda bu çemberin yarıçapı $IK = 2\sqrt 3$ tür.

$DA$ ile $CB$ doğruları $E$ de kesişsin. $\triangle ABE$ eşkenardır.

Standart notasyonlarla bir üçgende $ur=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \Longrightarrow r^2=\dfrac{(u-a)(u-b)(u-c)}{u}$ olduğu için $DM=x$ dersek $DEC$ üçgeninde $$(2\sqrt 3)^2=\dfrac{6\cdot 3\cdot x}{6+3+x}\Longrightarrow x=18$$
Bu durumda $CD=21$ ve $AD=20$ elde edilir.

[geo]

$ABCD$ nin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. İç teğet çember $AB, BC, CD, DA$ kenarlarına sırasıyla $K,L,M,N$ noktalarında dokunsun.
$AK=AN=e=2$, $BL=BK=f=2$, $BL=CM=g=3$, $DN=DM=x$ olacaktır.
Teğetler Dörtgeni'nde yarıçap formülünden $r=\sqrt{\dfrac{efg + efh + egh + fgh}{e+f+g+h}}$.

$12 = \dfrac{12+4x+6x+6x}{7+x}\Longrightarrow x=18$