$f(x+y)=f(x)f(y)$ ve $f(1)+f(2)=5$ ise $f(-1)=?$

[alpercay]

(Şuayip Aktaş'tan) $x,y\in\mathbb{R}$ için  $f(x+y)=f(x)f(y)$ ve $f(1)+f(2)=5$ ise $f(-1)=?$

[Metin Can Aydemir]

$x=y=1$ koyarsak, $f(1)^2=f(2)$ elde edilir. Dolayısıyla, $$f(1)^2+f(1)=5$$ bulunur. $$f(1)=f(2+(-1))=f(2)f(-1)=f(1)^2f(-1)$$ olduğundan ve $f(1)\neq 0$ olduğundan ($f(1)^2+f(1)=5$ ile çelişirdi), $f(-1)=\frac{1}{f(1)}$ olmalıdır. $x^2+x-5=0$ denkleminin kökü $f(1)$ olduğundan $\frac{1}{f(1)}=f(-1)$ de $$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-5=0\implies 5x^2-x-1=0$$ denkleminin bir köküdür. Dolayısıyla, $f(-1)=\frac{1\pm\sqrt{21}}{10}$ olacaktır. $x=y=\frac{t}{2}$ alınırsa, $$f(t)=f\left(\frac{t}{2}\right)^2\geq 0$$ olacağından her $x\in\mathbb{R}$ için $f(x)\geq 0$ olmalıdır. Bu yüzden $f(-1)=\frac{1+\sqrt{21}}{10}$'dur.

[alpercay]

https://geomania.org/forum/index.php?topic=334.15    ve https://geomania.org/forum/index.php?topic=2920.msg10960#msg10960 bağlantısından biliyoruz ki $f$ sürekli ise verilen fonksiyonel denklemin genel çözümü bir $a\in\mathbb{R^+}$ sayısı için $f(x)=a^x$ şeklindedir. (Soruda sürekliliğin verilmemesinin bir eksik olduğunu düşünüyorum; çünkü $f$ sürekli değilken Cauchy üstel fonksiyonel denkleminin sonsuz çözümü olduğu biliniyor ve bu Hamel tarafından kendi adıyla anılan bir taban kullanılarak gösterilmiş ama bu çözümlere "patolojik" deniyor (bakınız https://geomania.org/forum/index.php?topic=9423.0) ve sanırım bu durumda $f$ nin belli bir kapalı bir formülü yok. Yine de sorunun şartlarını sağlayan ve sürekli olmayan bir çözüm (varsa) bulabilirseniz sevinirim.
Ayrıca $f$ fonksiyonu pozitif tanımlıdır(yukardaki çözümde gösterildi). Buna göre $f(1)+f(2)=a+a^2=5$ denkleminin pozitif kökü $a=\dfrac{-1+\sqrt 5}{2}$ ve $$f(-1)=a^{-1}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1+\sqrt{21}}{10}$$ bulunur.