Çözüm [Lokman Gökçe]: Konveks (dış bükey) $ABCD$ dörtgeninin düzleminde keyfi bir $P$ noktası alalım. ($P$ noktası dörtgenin dışında da kalabilir.) $P$ nin köşelere olan uzaklıkları toplamı olan $S = |PA| + |PB| + |PC| + |PD|$ yi minimum yapmak istiyoruz. Üçgen eşitsizliğinden $|PA| + |PC| \geq |AC|$, $|PB| + |PD| \geq |BD|$ olup taraf tarafa toplarsak
$$ S \geq |AC| + |BD|$$
olur. Eşitsizliklerdeki eşitlik durumlarının geçerli olabilmesi için $P$ noktasının hem $[AC]$ doğru parçası üstünde, hem de $[BD]$ doğru parçasının üstünde olması gerekir. Köşegenlerin kesin noktasına $E$ dersek, $P=E$ iken $S$ minimum olur. $S_{\min} = |AC| + |BD|$ dir.
Şimdi de $ABCD$ konkav (iç bükey dörtgenini) göz önüne alalım. $S$ toplamı aynı şekilde tanımlansın. Belirlilik açısından $D$ noktasının $ABC$ üçgensel bölgesinin içinde olduğunu varsayalım. Öncelikle $B$ ve $C$ köşelerine olan uzaklıklarının toplamı $2a = |DB| + |DC|$ olan noktalar kümesini düşünelim. Bu; odakları $B$ ve $C$ olan, asal eksen uzunluğu $2a$ olan bir elipstir. Bu elipsi $\Gamma$ ile gösterelim. Şimdi şu iki durumu inceleyeceğiz:
1. Durum: $P$ noktası $\Gamma$ elipsinin dışında ise (bkz. Şekil 1) $PBDC$ iç bükey dörtgen olup $|PB| + |PC| > |DB| + |DC|$ dir. Eşitsizlik kesindir. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden $|PA| + |PD| > |DA|$ olup taraf tarafa toplarsak $S > |DA| + |DB| + |DC|$ dir.
2. Durum: $P$ noktası $\Gamma$ elipsinin içinde veya üzerinde ise (bkz. Şekil 2) $PADC$ iç bükey dörtgen olup $|PA| + |PC| \geq |DA| + |DC|$ dir. Eşitlik durumu yalnızca $P=D$ iken mümkündür. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden $|PB| + |PD| \geq |DB|$ olur. Eşitlik durumu, $P$ noktası $[DB]$ doğru parçası üzerinde iken sağlanır. Taraf tarafa toplarsak $S \geq |DA| + |DB| + |DC|$ dir. Eşitlik durumlarının kesişimi incelenirse, $P=D$ iken eşitlik durumu mümkün olur. O halde $$S_{\min} = |DA| + |DB| + |DC|$$ olur.
Notlar:1. Burada $\Gamma$ elipsini çizmemizin gerekçesini de açıklayalım. Şekil 2'de $|PB| + |PC| \leq |DB| + |DC|$ dir. Dolayısıyla 1. durumdaki adımları tamamen aynı tutarak uygulayamıyoruz. Fakat $P$ noktası elipsin içinde veya üzerinde iken bu kez de $PADC$ nin iç bükey dörtgen oluşunu kullanabiliyoruz.
2. $ABCD$ dış bükey iken keyfi $P$ noktasının $ABCD$ dörtgeninin içinde seçilme gibi bir zorunluluğu yoktur. Yani çözümde $P$ nin, dörtgenin içinde olması gerektiği gibi bir kabul kullanmadık. $ABCD$ iç bükey iken $P$ nin, $ABCD$ dörtgeninin iç bölgesinde veya üzerinde olduğunu varsaydım. Ancak $P$, dış bölgede de alınabilme serbestliğine sahip olursa benzer türde analizler yapılarak $P=D$ iken $S$ nin minimize olduğunu bulabiliriz diye düşünüyorum. Bu yüzden daha fazla şekil eklemedim. Yine de, bu tür bir dış nokta incelemesinde zorluk oluşuyorsa belirtebilirsiniz. Tekrar bakabiliriz.
