Üçgenin kenarları üzerinde 3 nokta

[alpercay]

Bir $\triangle ABC$ üçgeninin kenarları  üzerinde alınan $X ∈ [BC], Y ∈ [AC], Z ∈ [AB]$ noktalarının oluşturduğu $△AY Z, △BXZ, △CXY$ ve $△XY Z$  üçgenlerinin alanları eşittir. Buna göre $X, Y, Z $
noktalarının bulundukları kenarların orta noktaları olduğunu gösteriniz.

[matematikolimpiyati]

$|BX|=a$, $|XC|=b$, $|CY|=c$, $|YA|=d$, $|AZ|=e$, $|ZB|=f$ olsun. Sinüslü alan formülünü kullanarak alan oranı yazarsak

$\dfrac{Alan(BZX)}{Alan(ABC)}=\dfrac{\dfrac12 \cdot a \cdot f \cdot \sin \angle CBA}{\dfrac12 \cdot (a+b) \cdot (f+e) \cdot \sin \angle CBA}=\dfrac14 \implies 4af=(a+b)(f+e) \implies ae+bf+be=3af$ elde ederiz.

Şimdi ise Aritmetik Orta-Geometrik Orta eşitsizliğini kullanarak

$af=\dfrac{ae+bf+be}{3} \geq \sqrt[3]{b^2e^2af} \implies a^3f^3 \geq b^2e^2af \implies a^2f^2 \geq b^2e^2 \implies af \geq be$ yazabiliriz. Diğer üçgenlerin oranlarından da $ed \geq fc$ ve $bc \geq ad$ olur.

Bu son üç eşitsizliği taraf tarafa çarptığımızda ise $abcdef \geq abcdef$ buluruz ki bu da tüm eşitsizliklerin eşitlik olacağı anlamına gelir. Buradan da $a=b$, $c=d$ ve $e=f$ sonucuna ulaşırız.

[alpercay]

$|BC|=a$, $|BY|=b$, $|BX|=c$, ve $|AZ|=m$ olsun. Sadece bir kenar için orta nokta olduğunu gösterelim; diğerleri benzer şekilde yapılabilir.

$Alan(BXY)=Alan(ABC)/4$ olduğundan $b.c=a.|AB|.\dfrac 14$  ve buradan $|AB|=\dfrac{4bc}{a}$ olur.

$Alan(AXZ)=Alan(ABC)/4$ ise  $|AX|.|AZ|=(\dfrac{4bc}{a} -c)m=\dfrac{4bc}{a}.\dfrac{|AC|}{4}$  ve buradan $|AC|=\dfrac{(4b-a)m}{b}$

$Alan(CYZ)=Alan(ABC)/4$ ise $|CZ|.|CY|=(\dfrac{(4b-a)m}{b}-m)(a-b)=\dfrac{(4b-a)m}{b}.a.\dfrac 14$ eşitliği düzenlenirse $$a^2-4ab+4b^2=0$$  $$(a-2b)^2=0$$  yani $a=2b$ olacağından $Y$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktasıdır. Benzer olarak $X$ ve $Z$ noktalarının da bulundukları kenarların orta noktaları oldukları gösterilebilir.