$n$ tekse $n+1$ çift olduğundan $n^{n+1}+1\equiv 2\pmod{4}$ olacaktır. $n$ çiftse de $n^{n+1}+1$ tektir. Dolayısıyla, $n^{n+1}+1$ sayısı $2$'ye bölünebilir ama $4$'e bölünemez. $m$ tek bir sayı ise $n=m-1$ seçersek, $$n^{n+1}+1=(m-1)^{m}+1\equiv 0\pmod{m}$$ olduğundan istenilen sağlanır. Dolayısıyla, $m=1,3,5,\dots, 49$ istenileni sağlar.
$m$ çiftse $n$ tek ve $n+1$ çift olmalıdır. Yani $n^{n+1}+1$ iki tamkarenin toplamıdır. Eğer $x^2+y^2$'yi bölen bir $4k+3$ formatında asal sayı varsa, $-1$ karekalan olmadığından hem $x$'i hem de $y$'yi bölmesi gerekir. Dolayısıyla, $n^{n+1}+1$'i bölen bir $4k+3$ formatında asal sayı yoktur. $m$'nin $4t+2$ formatında olduğunu ve $4k+3$ formatında bir asal böleni olmadığını biliyoruz. Bu şekildeki sayılar, $2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50$'dir. Bunların arasında $4k+3$ formatında bölenleri olanları atarsak, $2,10,26,34,50$ kalır. $m=2$'nin sağladığı barizdir.
$m_0$ tek tamsayısı için $m=2m_0$ için uygun bir $n$ bulalım. Öncelikle $r^2\equiv -1\pmod{m_0}$ olacak şekilde bir $r$ bulalım. Bulduğumuz tüm $m$ değerleri için uygun bir $r$ vardır. $r$ ve $m_0-r$ istenileni sağladığından ve $m_0$ tek olduğundan $r$'yi tek sayı kabul edebiliriz. Örneğin $m=50$ için $r=7$ istenileni sağlar. $n=mk+r$ olarak arayalım. $n^{n+1}+1$ çift olduğundan $$(mk+r)^{mk+r+1}\equiv (r^{2})^{m_0k+\frac{r+1}{2}}\equiv -1\pmod{m_0}$$ olması yeterlidir. Yani $m_0k+\frac{r+1}{2}$ tek olması yeterlidir. $m_0$ tek olduğundan, $\frac{r+1}{2}$'nin teklik-çiftliğine göre $k$'yı $0$ veya $1$ seçebiliriz. Dolayısıyla, bulduğumuz $m$ değerleri uygundur.
Tüm $m$ değerleri, tek pozitif tamsayılarla birlikte $2,10,26,34,50$ değerleridir.
