Eğer $p,q,r\neq 3$ ise $3$ modunda incelersek, $$p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2+3\equiv 0\pmod{3}\implies 3\mid 4\cdot 13^a$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla, $p,q,r$'den birisi $3$ olmalıdır. Genelliği bozmadan $r=3$ olsun. $$p^2q^2+9p^2+9q^2=4\cdot 13^a-3$$ elde edilir. Her tarafa $81$ eklersek, $$(p^2+9)(q^2+9)=4\cdot 13^a+78$$ bulunur. Eğer $p$ ve $q$ tekse $p^2+9$ ve $q^2+9$ çift olduğundan $4\mid 4\cdot 13^a+78$ bulunur ancak $4\nmid 78$ olduğundan çelişki elde edilir. $p$ ve $q$'dan biri $2$ olmalıdır. Genelliği bozmadan $q=2$ olsun. Bu durumda $$p^2=4\cdot 13^{a-1}-3$$ bulunur. Eğer $a$ çiftse $$p^2\equiv 4\cdot 13^{a-1}-3\equiv 4\cdot (-1)-3\equiv 0\pmod{7}\implies p=7$$ bulunur. Gerçekten de $a=2$ için $p=7$'dir. $(a,p,q,r)=(2,7,2,3)$ ve $p,q,r$'nin permütasyonları çözümdür.
$a$ tekse, $a-1$ çift olduğundan, $a-1=2k$ dersek, $$3=(2\cdot 13^k)^2-p^2=(2\cdot 13^k+p)(2\cdot 13^k-p)$$ elde edilir. Buradan çözüm gelmediği kolayca görülebilir. Tüm çözümler $(a,p,q,r)=(2,7,2,3)$ ve $p,q,r$'nin permütasyonlarından elde edilen çözümlerdir.
