İndirgemeli dizi ile ilgili bir tam kare sorusu

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a_1=1$  ve $n=2,3,\cdots$  için $a_n=a_{n-1}+p^{n-1}$  olsun. Hangi $p$  asalları için $a_{105}-a_{100}$  bir tam kare olur, belirleyiniz.

[diktendik]

Tümevarımla veya taraf tarafa toplamayla $a_n=\frac{p^n-1}{p-1}$ bulunur ve $a_{105}-a_{100}=p^{100}\cdot \frac{p^5-1}{p-1}$ olur ve bu ifadenin tamkare olması için gerek ve yeter koşul $p^4+p^3+p^2+p+1$'in tamkare olmasıdır. Bu ifade $p>3$ için $(p^2+\frac{p+1}{2})^2=p^4+p^3+5p^2/4+p/2+1/4$ ifadesinden küçük ve $(p^2+\frac{p+1}{2}-1)^2=p^4+p^3-3p^2/4-p/2+1/4$ ifadesinden büyük olup tamkare olamaz. Fakat $p=3$ ise ifade $121$ olup tamkare olur sonuç olarak $p=3$ tek çözümdür.