Reel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri

[Metin Can Aydemir]

Çok bilinen ama tahminimce çoğu kişinin ispatı üzerine düşünmediği bir teoreminin ispatını tartışalım istedim.

Teorem 1: $P$, reel katsayılı bir polinom olsun. Eğer $m,n\in\mathbb{R}$ olmak üzere $m+ni$ karmaşık sayısı $P$'nin bir kökü ise, eşleniği olan $m-ni$ de bir köküdür.

Teorem 2: $P$, rasyonel katsayılı bir polinom, $d$ ise tamkare olmayan bir pozitif tamsayı olsun. Eğer $m,n\in\mathbb{Q}$ olmak üzere $m+n\sqrt{d}$ sayısı $P$'nin bir kökü ise, eşleniği olan $m-n\sqrt{d}$ de bir köküdür.

[Lokman Gökçe]

İspat: Rasyonel eşlenik kavramı için bazı tanımlamalar yapalım. Kompleks eşlenik kök teoreminin ispatı da benzer şekilde yapılır.

Her rasyonel sayının eşleniğini kendisi olarak tanımlayalım. Ayrıca $a, b$ rasyonel sayılar ve $b>0$ bir rasyonel sayının karesinden farklı olmak üzere $z = a + \sqrt{b}$ ve $\overline{z} = a- \sqrt{b}$ gerçel sayılarına birbirinin eşleniği diyelim. Bu durumda, $z = a \mp \sqrt{b}$ ve $w = c \mp \sqrt{b} $ gerçel sayıları için de

$$  \overline{z\mp w} = \overline{z}\mp \overline{w} , \quad \overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot \overline{w} , \quad  \overline{z^n} = (\overline{z})^n $$
olur. Burada  $n$ bir pozitif tam sayı, $a, b, c$ rasyonel sayılardır. Elbette, $b>0$ bir rasyonel sayının karesine eşit değildir.

$\bullet$ $\overline{z\cdot w}$ için kısmi ispatı yapalım: $\overline{z\cdot w} = \overline{\left(a + \sqrt{b}\right)\left(c + \sqrt{b}\right)} = \overline{ ac + b + \sqrt{b}(a+c)} = ac + b - \sqrt{b}(a+c) = \left(a - \sqrt{b}\right)\left(c - \sqrt{b}\right) = \overline{z}\cdot \overline{w}$.

Kısmi dedim, çünkü $z$ bir rasyonel sayı, $w = c + \sqrt{b} $ veya $z = a - \sqrt{b} $, $w = c + \sqrt{b} $ gibi durumlarda da bu eşitlikler sağlanıyor. Yine $\left(a + \sqrt{b}\right)^n = x + y\sqrt{b}$ ise $\left(a - \sqrt{b}\right)^n = x - y\sqrt{b}$ olması gerektiği de tümevarım ile ispatlanabilir.

Buna göre, rasyonel katsayılı $P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x +a_{0}$ polinomunun bir kökü $z = a + \sqrt{b}$ olmak üzere,

\begin{equation*}
\begin{split}
 P(\overline{z}) &  =  a_{n}(\overline{z})^{n}+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\cdots +a_1(\overline{z}) +a_{0}  \\
  & = \overline{a_{n}}(\overline{z^{n}}) + \overline{a_{n-1}}(\overline{z^{n-1}})+\cdots + \overline{a_1}(\overline{z}) + \overline{a_{0}} \\
  & = \overline{a_{n}z^{n}} + \overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots + \overline{a_1z} + \overline{a_{0}} \\
  & = \overline{ a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots + a_1z +a_{0}} \\
  & = \overline{P(z)} = \overline{0} = 0 .
\end{split}
\end{equation*}

elde edilir.


Not: Rasyonel katsayılı eşlenik kavramını neden böyle tanımlamak istediğim ile ilgili ana fikri açıklayabiliriz. Her şeyi, kompleks eşlenik kök teoreminin ispatındaki fikirleri kullanabilmek için yaptım. $z$'yi karmaşık sayı ve $a_i $'leri gerçel sayı alınca kompleks eşlenik kök teoreminin iyi bilinen ispatı ortaya çıkıyor. Ayrıca, Bir Sayının Eşleniği Nedir? başlılı yazıda, Sercan Yıldırım hocamın yanıtı da bu konuda aydınlatıcı olacaktır.

[ygzgndgn]

Sonuç. Bir polinomun kompleks kökleri bire bir eşlenmelidir. Bu sebeple reel katsayılı bir polinomun derecesi ve katsayıları nasıl seçilirse çift sayıda kompleks kökü bulunur. Yani polinom çift dereceliyse çift sayıda, tek dereceliyse tek sayıda reel kökü vardır.

[Metin Can Aydemir]

$R$ bir cisim (field) olsun. Değişmeli (yani her $a,b\in R$ için $ab=ba$ olan) ve $0$ dışındaki her elemanın çarpmaya göre tersinin olduğu halkaya cisim denir. Halkanın tanımına da buradan bakabilirsiniz. Örnek olarak $p$ bir asal sayı olmak üzere $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ birer cisimdir. Ancak $\mathbb{Z}$ bir cisim değildir çünkü $2$'nin çarpmaya göre tersi yoktur.

Eğer birebir ve örten $\phi:R\to R$ fonksiyonu her $x,y\in R$ için $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ ve $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ eşitlikleri sağlıyorsa, $\phi$'ye cisim otomorfizmi denir. $\phi(0)=0$ olduğu kolayca görülebilir. $\operatorname{Fix}(\phi)=\{x\in R: \phi(x)=x \}$ olsun. Bu durumda katsayıları $\operatorname{Fix}(\phi)$'den olan bir $P$ polinomun bir kökü $r$ ise $\phi(r)$ da bu polinomun bir köküdür. Bunu ispatlayalım.

$a_0,a_1,\dots,a_n\in \operatorname{Fix}(\phi)$ olmak üzere $P(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k$ olsun. $$\begin{equation*}
\begin{split}
 P(\phi(r)) &  =  \sum\limits_{k=0}^{n}a_k\phi(r)^k  \\
  & =  \sum\limits_{k=0}^{n}a_k\underset{k\text{ tane}}{\underbrace{\phi(r)\phi(r)\cdots \phi(r)}}\\
  & = \sum\limits_{k=0}^{n}\phi(a_k\underset{k\text{ tane}}{\underbrace{r\cdot r\cdots r}}) \\
  & = \phi\left(\sum\limits_{k=0}^{n}a_kr^k\right) \\
  & = \phi(P(r)) = \phi(0) = 0 .
\end{split}
\end{equation*}$$ Eğer $R=\mathbb{Q}[\sqrt{d}]=\{a+b\sqrt{d}: a,b\in\mathbb{Q}\}$ ve $\phi(a+b\sqrt{d})=a-b\sqrt{d}$ olarak tanımlarsak, $\operatorname{Fix}(\phi)=\mathbb{Q}$ olacağından Teorem 2 ispatlanmış olur. Eğer $R=\mathbb{C}$ ve $\phi(a+bi)=a-bi$ olarak tanımlanırsa, $\operatorname{Fix}(\phi)=\mathbb{R}$ olur bu da Teorem 1'i ispatlar.

Eğer $R=\mathbb{R}$ olarak alırsak, $R$'nin tek otomorfizmi birim fonksiyondur (identity function). Bunun bir çok ispatı vardır. Olimpiyatçıların aşina olabileceği ispatlardan biri Cauchy fonksiyonel eşitliğini kullanmaktır. $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ denkleminin rasyonel sayılardaki çözümü $\phi(x)=cx$'dir. İkinci eşitliği kullanırsak birebir ve örtenlikten dolayı $\phi(x)=x$ bulunur. Ayrıca $a>b$ için $$\phi(a)-\phi(b)=\phi(a-b)=\phi(\sqrt{a-b})^2> 0$$ olduğundan fonksiyon artan olmalıdır. Her $x\in \mathbb{R}$ için $p<x<q$ olacak şekilde istenildiği kadar birbirine yakın $p,q$ rasyonel sayıları seçilebileceğinden ve $\phi(p)<\phi(x)<\phi(q)$ olacağından $\phi(x)=x$ olmalıdır. Bu yüzden reel sayılar için yukarıdaki gibi bir eşlenik kavramımız yok (kendi kendinin eşleniği olmak dışında), bu yüzden de benzer bir teoremi reel sayılar üzerinden elde edemiyoruz.

Eşlenik tanımını başka şekilde de yapabiliriz ama yukarıdan anlaşabileceği gibi $\phi$ bir $R$ cisminin otomorphizmi olmak üzere $\phi(r)$'ye $r$'nin $\phi$'ye göre eşleniği diyebiliriz.

[Metin Can Aydemir]

Sonuç. Bir polinomun kompleks kökleri bire bir eşlenmelidir. Bu sebeple reel katsayılı bir polinomun derecesi ve katsayıları nasıl seçilirse çift sayıda kompleks kökü bulunur. Yani polinom çift dereceliyse çift sayıda, tek dereceliyse tek sayıda reel kökü vardır.

Aslında bu elde ettiğiniz sonuç başka büyük bir teorem olan "Cebirin Temel Teoremini", yani $\mathbb{C}$'nin cebirsel olarak kapalı olmasını kullanıyor. Başka bir deyişle katsayıları $\mathbb{C}$'den olan ve sabit olmayan bir polinomun kompleks kökü vardır.