$n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $z=nx$ alalım. $$\left \{ \dfrac{f(x)}{f(y)} \right \} + \left \{ \dfrac{f(y)}{f(nx)} \right \} + \left \{ \dfrac{f(nx)}{f(x)} \right \} = \left \{ \dfrac{x}{y} \right \} + \left \{ \dfrac{y}{nx} \right \}$$ elde edilir. Her $\varepsilon>0$ için $n>\frac{y}{\varepsilon x}$ seçerek $\frac{y}{nx}<\varepsilon$ yapabiliriz. Dolayısıyla, her $\varepsilon>0$ için öyle bir $N\geq 1$ vardır ki $$n\geq N\implies \left \{ \dfrac{f(x)}{f(y)} \right \} + \left \{ \dfrac{f(y)}{f(nx)} \right \} + \left \{ \dfrac{f(nx)}{f(x)} \right \} = \left \{ \dfrac{x}{y} \right \} + \left \{ \dfrac{y}{nx} \right \}<\left \{ \dfrac{x}{y} \right \}+\varepsilon$$ $$\implies \left \{ \dfrac{f(x)}{f(y)} \right \}-\left \{ \dfrac{x}{y} \right \}<\varepsilon.$$ Bu eşitsizlik her $\varepsilon$ için doğru olduğundan $\left \{ \dfrac{f(x)}{f(y)} \right \}-\left \{ \dfrac{x}{y} \right \}\leq 0$ olmalıdır. Benzer şekilde $(y,z)$ ve $(x,z)$ için de aynı eşitsizlikleri elde edebiliriz. Ana eşitlik bu eşitsizliklerin toplamının eşitlik halidir. Yani $\left \{ \dfrac{f(x)}{f(y)} \right \}=\left \{ \dfrac{x}{y}\right\}$ olmalıdır. $\frac{f(x)}{f(1)}=g(x)$ olarak tanımlarsak ve bulduğumuz eşitlikte $y=1$ koyarsak, $\{g(x)\}=\{x\}$, yani $g(x)-x\in\mathbb{Z}$ elde edilir. $y$'yi tamsayı seçelim. $m,k\in\mathbb{Z}$ için $g(x)=x+k$ ve $g(y)=y+m$ dersek, $$\left\{\frac{g(x)}{g(y)}\right\}=\left\{\frac{x+k}{y+m}\right\}=\left\{\frac{x}{y}\right\}\implies \frac{x+k}{y+m}-\frac{x}{y}\in\mathbb{Z}$$ bulunur. $$\frac{x+k}{y+m}-\frac{x}{y}=\frac{y(x+k)-x(y+m)}{y(y+m)}=\frac{ky-xm}{y(y+m)}\in\mathbb{Z}\implies xm\in\mathbb{Z}\implies m=0$$ elde edilir. Bu durumda da $$\frac{x+k}{y}-\frac{x}{y}=\frac{k}{y}\in\mathbb{Z}\implies k=0$$ bulunur. Yani her $x$ için $g(x)=x$'dir. Yerine koyarsak $f(x)=f(1)x=cx$ bulunur. Her $c>0$ için de verilen eşitlik sağlanır.
