Eşitsizliği iyileştirmeye çalışalım, daha doğrusu, her $n$ için $d(n)\leq k\sqrt{n}$ olan en küçük $k$ reel sayısını arayalım. $n=1$ için $k\geq 1$'dir. $n\geq 2$ için $n=\prod\limits_{p\mid n}p^{v_p(n)}$ olarak asal çarpanlarına ayıralım. $$\frac{d(n)}{\sqrt{n}}=\prod_{p\mid n}\frac{v_p(n)+1}{p^{v_p(n)/2}}$$ olacaktır.
Bir tablo ile $\frac{v_p(n)+1}{p^{v_p(n)/2}}$ değerini inceleyelim, $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& v_p(n)=0 & v_p(n)=1 & v_p(n)=2 & v_p(n)=3 & v_p(n)\geq 4 \\ \hline
p=2 & 1 & \sqrt{2}\approx 1.414 & 1.5 & \sqrt{2}\approx 1.414 & <\sqrt{2}\\ \hline
p=3 & 1 & \frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1.155 & 1 & <1 & <1 \\ \hline
p\geq 5 & 1 & <1 & <1 & <1 & <1 \\ \hline
\end{array}
$$ tablosunu elde ederiz. Bu tablodan da yola çıkarak $\frac{d(n)}{\sqrt{n}}$'nin $n\geq 2$ için en büyük değerini $v_2(n)=2$, $v_3(n)=1$ ve $p\geq 5$ için $v_p(n)=0$ durumunda aldığını görebiliriz. Sonuç olarak maksimum değer $n=2^2\cdot 3=12$ iken alınır ve $$\max_{n}\frac{d(n)}{\sqrt{n}}=\max\left\{\frac{d(12)}{\sqrt{12}},\frac{d(1)}{\sqrt{1}}\right\}=\sqrt{3}$$ bulunur. Dolayısıyla, $d(n)\leq 2\sqrt{n}$ eşitliği, en iyi şekilde $d(n)\leq \sqrt{3n}$'e iyileştirilebilir (yukarıda bahsettiğimiz iyileştirme anlamında). Eşitlik durumu $n=12$'dir.
