Bölen sayısıyla ilgili bir dizi problemi

[ygzgndgn]

Sonsuz elemanlı bir $(a_n)$ pozitif tam sayı dizisi; $d(n)$, $n$ nin bölen sayısını göstermek üzere her $n$ için
$$a_{n+1}=a_{n}+d(n)$$
eşitliğini sağlar. Bu dizinin ardışık iki teriminin tam kare olup olamayacağını belirleyiniz.

[ygzgndgn]

Cevap: HAYIR.
Çözüm: Çelişkiyle ispatlayacağız. Dizinin özyinelemeli tanımından dolayı $a_1=K^2-(d(1)+d(2)+\dots+d(n-1))\Leftrightarrow a_n=K^2$ sağlanır. Sonraki terim de tam kare olsun. $a_{n+1}=K^2+d(n)=(K+L)^2\Rightarrow d(n)=2KL+L^2$ olması gerektiği bulunur. ($L>0$) Ayrıca $a_1>0$ olduğundan $K^2>d(1)+d(2)+\dots+d(n-1)$ sağlanır.
$$d(n)\leq 2\sqrt{n}\Rightarrow n\geq \frac{(L^2+2KL)^2}{4}$$
sınırını kullanacağız. Her $i>1$ için $d(i)\geq 2$ vardır. Buradan
$$K^2>\sum_{i=1}^{n-1} d(i)\geq 1+2(n-2)\geq \frac{(L^2+2KL)^2}{2}-3\Rightarrow (2-4L^2)K^2-(4L^3)K+(6-L^4)>0$$
buluruz. $K$ ya göre diskriminanttan
$$\Delta_K=16L^6-4(6-L^4)(2-4L^2)<0\Rightarrow L^4+12L^2-6<0\Rightarrow L<1$$
gelir. Ancak öncesinde $L\geq 1$ almıştık. Çelişki. Böyle bir $K$ ve $L$ bulunmaz. $\blacksquare$

Sınırın İspatı. $n$'nin bölenlerini ikili olarak eşleyecek olursak en fazla $\sqrt{n}$ ikili elde edebiliriz. Dolayısıyla $d(n)\leq 2\sqrt{n},\forall n\in\mathbb{Z^+}$ sağlanır.

Not: Sorudaki eşitsizlik yeteri kadar keskin değildir. $d(i)\geq 2$ eşitsizliği çok geniş bir aralık bırakmaktadır.

[Lokman Gökçe]

Çözüm için teşekkürler Yağız. Bir kaç geribildirim vermem iyi olacak.

Giriş kısmında '$a_1=K^2-(d(1)+d(2)+\dots+d(n-1)$ seçersek ...' diye başlayarak çelişki elde edilince, 'eğer başka bir şey seçersek belki de çelişki elde edilemeyebilir' gibi bir boşluk oluşuyor çözümde.

Burada çözüme şöyle başlamak uygun olabilir:
Olmayana ergi (çelişki) yöntemi ile ispatı yapabiliriz. Bunun için dizinin ardışık iki teriminin tam kare olduğunu varsayalım. $a_n = K^2$ ve $a_{n+1} = L^2$ olsun ($K, L \in \mathbb{Z}^+$). Dizinin yineleme bağıntısını
$$a_{n+1} - a_n = d(n)$$
biçiminde teleskopik olarak yazarsak,
$$ \sum_{k=1}^{n-1} ( a_{k+1} - a_k ) = \sum_{k=1}^{n-1}  d(k)$$
olup $a_1=K^2-(d(1)+d(2)+\dots+d(n-1))$ elde edilir. Yani $a_1$'in bu değeri, bir işlem zincirinin sonucundan elde edilir...

Çözümde kullanılan bir lemma vardır. Onu da ispatıyla vermek uygun olur. Ya da ispatını gösteren bir link verilebilir.

Lemma: $n$ pozitif tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $d(n)$ ise, $d(n) \leq 2\sqrt{n}$ dir.

İspat: İspatı burada verilmiştir.


Bunları ifade ettikten sonra, yukarıdaki çözümde verdiğin adımları rahatlıkla kullanabiliriz.

[ygzgndgn]

Geri bildirimleriniz için teşekkür ederim hocam. Gerekli düzeltmeleri yapacağım.