Kutupsal Koordinatlar ve İki Katlı İntegral

[Lokman Gökçe]

Kutupsal koordinat dönüşümü ile ilgili klasik tarzdaki problemlerden birini sunalım.

Problem:

$$
\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{\sqrt{4-x^2}}(x^2 + y^2)dy \, dx
$$

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$  \textbf{a)}\ \pi \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3\pi}{2} \qquad\textbf{c)}\ 2\pi \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5\pi}{2}  \qquad\textbf{e)}\ 4\pi $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm: Verilen integralde bölge $0\leq x\leq 2, \, 0\leq y\leq \sqrt{4-x^2}$ eşitsizlikleri ile tanımlıdır. Buradan $x^2+y^2\leq 4,\, x\geq 0, \, y\geq 0$ olduğu görülür. Yani üzerinde integral alınan $D$ bölgesi, merkezi orijin ve yarıçapı $2$ olan çemberin birinci bölgedeki çeyrek dairesidir. Kutupsal koordinat dönüşümü yapalım: $x=r\cos\theta,\, y=r\sin\theta$. Bu durumda $x^2+y^2=r^2$ ve alan elemanı $dxdy=r \,dr \, d\theta$ olur. Bölge birinci bölgede yarıçapı $2$ olan çeyrek daire olduğundan $0\leq r\leq 2,\, 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2}$ elde edilir. O halde integral

$$
\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{\sqrt{4-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx = \int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{2} r^2\cdot r \,dr \, d\theta
$$

biçimine dönüşür. Buradan

$$
\int\limits_{0}^{\pi/2}\int\limits_{0}^{2} r^3\,dr \,d\theta = \int\limits_{0}^{\pi/2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{2}d\theta
$$

olur. Dolayısıyla $\int\limits_{0}^{\pi/2}4\,d\theta = 4\cdot \dfrac{\pi}{2} = 2\pi$ bulunur. Bu nedenle cevap $2\pi$ olur.

import graph;

size(7cm);

real f(real x) { return sqrt(4-x*x); }

pair O=(0,0);
pair A=(2,0);
pair B=(0,2);

path C = graph(f,2,0);
path D = O--A--C--O;

fill(D, yellow);
draw(D);

draw((-0.15,0)--(2.3,0), Arrow);
draw((0,-0.15)--(0,2.3), Arrow);

label("$x$", (2.3,0), E);
label("$y$", (0,2.3), N);

label("$O$", O, SW);
label("$2$", A, S);
label("$2$", B, W);

label("$D$", (0.78,0.62), N, fontsize(15pt));
label("$y=\sqrt{4-x^2}$", (1.10,1.52), NE, fontsize(20pt));