Hindistan TST Deneme 2017'den diyofant denklem

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aşağıdaki ifadeyi sağlayan tüm  $p$, $q$, $r$, $s>1$  tam sayılarını belirleyiniz.

$$p!+q!+r!=2^s$$

[Metin Can Aydemir]

Genelliği bozmadan $p\geq q\geq r\geq 2$ olsun. $r!\mid p!+q!+r!=2^s$ olduğundan $r=2$ olmalıdır, aksi takdirde $3\mid 2^s$ çelişkisi elde edilir. $$p!+q!=2^s-2$$ $p!+q!\geq 2!+2!=4$ olduğundan $s\geq 3$ olacaktır. Dolayısıyla, $2^s-2\equiv 2\pmod{4}$'dür. Eğer $q\geq 4$ olursa $4\mid p!+q!$ çelişkisi elde edilir. $q=2$ veya $q=3$ olmalıdır.

$q=2$ ise $p!=2^s-4$ olacaktır. Benzer şekilde $2^s-4\equiv 4\pmod{8}$ olduğundan $p\leq 3$ olmalıdır. Denersek, çözüm gelmez.

$q=3$ ise $p!=2^s-8$ olacaktır. $s\geq 4$ olmalıdır. Buradan da $2^s-8\equiv 8\pmod{16}$ bulunacağından $p\leq 5$ olmalıdır. Denersek, $(p,q,r,s)=(5,3,2,7),(4,3,2,5)$ çözümleri bulunur. $p,q,r$'nin permütasyonları da çözümdür.