Toplam sorusu

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

AoPS'de gördüğüm, Antalya olimpiyatına da gidebilecek tarzda hoş bir toplam sorusu paylaşalım:

Aşağıdaki $S$  toplamını hesaplayınız.

$$S=\dfrac{2}{3+1}+\dfrac{2^2}{3^2+1}+\dfrac{2^3}{3^4+1}+\cdots+\dfrac{2^{n+1}}{3^{2^n}+1}$$

[barispro31]

hocam bu soru zorlayıcı oldu.İlk başta seri olarak tamınlamak istiyorum. an=2**(n+1)/((3**2**n)+1)
Ve sonra şöyle bir şey aklına geldi bn=2**(n+1)/((3**2**n)-1) ve b(n+1=-an+bn zaten bu özellikten sonra her şey bitiyor. b1=-a0+b0, b2=-a1+b1, b3=-a2+b2 n+1 sonsuza b(n+1=-an+bn ve bu eşitlikleri toplarsak şöyle bir eşitlik geliyor. s=b0-b(n+1 ve buradan b(n+1 sıfır geliyor b0=1=s