Tayvan TST 2021'den diyofant denklem

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aşağıdaki diyofant denklemini sağlayan tüm $(x,y,z)$  pozitif tam sayı üçlülerini bulunuz.

$$x^2+4^y=5^z$$

[Metin Can Aydemir]

$y\geq 2$ ise $x$ tek olduğundan $$x^2+4^y\equiv 1\pmod{8}\implies 5^z\equiv 1\pmod{8}.$$ $z$ tek olursa $5^z\equiv 5\pmod{8}$ olacağından çelişki elde edilir. $z$ çifttir. $z=2u$ diyelim. $$4^{y}=2^{2y}=5^{2u}-x^2=(5^u-x)(5^u+x)$$ olduğundan $m>k$ olmak üzere $5^u-x=2^k$ ve $5^u+x=2^m$ formatında olmalıdır. Taraf tarafa toplarsak, $$2\cdot 5^u=2^k+2^m=2^k(1+2^{m-k})\implies k=1.$$ Yerine yazarsak, $x=5^u-2$ ve $2^m=2\cdot 5^u-2$ olacaktır. Kuvvet kaldırma teoreminden $$m=v_2(2\cdot 5^u-2)=1+v_2(5^u-1)=\begin{cases}1+v_2(5-1)&\text{eğer }u\text{ tek ise}\\ 1+v_2(5-1)+v_2(5+1)+v_2(u)-1&\text{eğer }u\text{ çift ise}\end{cases}=\begin{cases}3&\text{eğer }u\text{ tek ise}\\ 3+v_2(u)&\text{eğer }u\text{ çift ise}\end{cases}.$$ İki durumda da $m=3+v_2(u)$'dur. $$v_2(u)=m-3\implies 2^{m-3}\mid u\implies u\geq 2^{m-3}.$$ Eğer $2^{m-3}=t$ dersek, $$8t=2\cdot 5^{u}-2\geq 2\cdot 5^{t}-2\implies 4t+1\geq 5^t $$ elde edilir. $t\geq 2$ için eşitsizlik bozulacağından $t=1$ olmalıdır. Yani $m=3$ olmalıdır. Yerine yazarsak, $u=1$ ve $x=3$ bulunur. Sonuç olarak $(x,y,z)=(3,2,2)$ çözümünü buluruz. Aynı çözümün sadece $z$ çiftken de elde edildiği görülebilir. Dolayısıyla $z$'nin tek olduğunu varsayabiliriz.

$y=1$ ise denklem $x^2+4=5^z$ haline gelir. $z=2n+1$ yazalım. $x^2=5(5^n)^2-4$ elde edilir. İspatı kolay olmamakla beraber

Lemma: $m\geq 0$ için $5m^2+4$ veya $5m^2-4$ tamkaredir ancak ve ancak $m$ bir fibonacci sayısıdır.

lemması vardır. Lemmanın bir yönü klasik Fibonacci dizisi eşitliklerinden gösterilebiliyor, diğer tarafı için devamlı kesirler (continued fractions) konusunu bilmek gerekiyor. Yani $5^n$ bir fibonacci sayısı olmalıdır. Yani soru Fibonacci dizisinde kaç tane $5$'in kuvveti vardır sorusuna dönüşür. Bugeaud, Mignotte, Siksek, 2004 yılında Fibonacci dizisinde bir sayının 1'den büyük kuvveti olan tüm sayıların $0,1,8,144$ olduğunu göstermiştir. Dolayısıyla, $5^n=1,5$ olabilir. Bunlar da $1+4=5$, yani $(x,y,z)=(1,1,1)$ ve $11^2+4=5^3$, yani $(x,y,z)=(11,1,3)$ bulunur.

$n\geq 2$ için $5^n$'in fibonacci olmadığının basit bir ispatı var mı şu anlık bilmiyorum.

[AtakanCİCEK]

Denklemin son halinden devam edeyim. $n$ yerine $w$ yazıcam. ( değişkenler karışmasın diye)  $x$ tek,  $x^2=5.(5^w)^2-4$ sonucuna sahibiz. Buradan $$x^2+4=5.(5^w)^2$$ yani  ($a^2+b^2=5c^2$) tipinde bir pisagor tipi parametrizasyon kullanarak ilerleme kaydedebiliriz.  Bu denklemin parametrizasyonu $k.(m^2-4mn-n^2),k.(2m^2-2mn-2n^2),k.(m^2+n^2)$  olduğu ispatlanabilir. Burada $(m,n)=1$ ve $m\not \equiv n (mod2)$ olmalıdır ($m=0$ ve $n=0$ ayrı inceleme gerektiriyor). Çünkü  $(a,b)=1$ olacak şekilde seçim yaparsak $a^2+b^2=5c^2$  yani $a,b$ aynı anda tekse $a^2+b^2\equiv 2(mod4)$  yani $c^2\equiv 2(mod4)$ olur. Çelişki. $a,b$ aynı anda çift olursa aralarında asallıkla çelişir. Dolayısıyla $a,b$ zıt paritededir. Buradan yola çıkarsak $k.(2m^2-2mn-2n^2)$ çift olduğundan $m^2-4mn-n^2$ tek olmalı yani $m^2-n^2\equiv 1(mod2)$ olmalıdır. Buradan $m,n$ zıt parite olduğu görülebilir. Diğer taraftan $(m,n)=d$, $d>1$ ise $(m',n')=1$ olacak şekilde aynı parametrizasyonu başkatsayı $kd$ olacak şekilde elde ediyoruz. Dolayısıyla $(m,n)=1$ kabulümüzde de sakınca yoktur. Buradan yola çıkarsak ve $x$ in daima tam sayı olması garanti olduğundan diğer iki parametrizasyonu yazmamız bize yeterli.

$$k.2.|m^2-mn-n^2|=2, k.(m^2+n^2)=5^w$$ gelir. Buradan $k=1$ görülebilir ve şunu elde ederiz. $|m^2-mn-n^2|=1$ ve $m^2+n^2=5^w$ Buradaki ilk denklemin genel çözüm kümesi $(F_k,F_{k+1})$ olduğu için (veya ($F_{k+1},F_k$)) bununla ilgili çözümü IMO $Q3$ altına ekledim. https://geomania.org/forum/index.php?topic=4505.msg26623;topicseen#new    $F_k^2+F_{k+1}^2=F_{2k+1}=5^w$ geliyor. Yani $5^w$ terimi tek numaralı fibonacci terimi olmalı. Soru bize artık $5$  in kuvveti şeklinde yazılabilen fibonacci terimlerini soruyor.

Fibonacci terimleri şu özdeşlikleri sağlar : (Buradaki $m,n$ yukarıdaki parametrizasyondakiler değil)

$m|n$ ise $F_m|F_n$  ve $5|F_n \Leftrightarrow 5|n$

Bunlardan ilki biraz daha bilindik (Yine Tümevarımla ispatı mümkün) ben ikincisini ispatlayayım:

Öncelikle Fibonacci dizisinin $n\geq 0 $ için $F_n\equiv n.3^{n-1}(mod5)$ sağladığını görelim. ($n=0$ ise $0(mod5)$ olduğunu zaten biliyoruz.)

İspat:  $n\geq 1$ olsun. Denkliğin sağ tarafındaki ifadeyi  $G_n$ olarak tanımlayalım. Tümevarım kullanalım.

$F_0\equiv G_0(mod5)$ ve $F_1\equiv G_1(mod5)$  görülebilir.

$F_n\equiv G_n(mod5)$ ve $F_{n-1}\equiv G_{n-1}(mod5)$ olduklarını kabul edelim.  $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ olduğunu biliyoruz. Buradan

$$F_{n+1}\equiv G_n+G_{n-1}(mod5)$$ gelir. $F_{n+1}\equiv n.3^{n-1}+(n-1).3^{n-2}(mod5)$ yani $F_{n+1} \equiv (4n-1)3^{n-2}(mod5)$  Buradan da  $F_{n+1}\equiv (4n+4)3^{n-2}(mod5)$ yazabiliriz.  Buradan da $F_{n+1}\equiv 3^{n-2}.9.(n+1)(mod5)$  yani $F_{n+1}\equiv G_{n+1}(mod5)$ gelir. İspat biter.

$F_n\equiv n.3^{n-1}(mod5)$ denkliğinde $3$ ün kuvveti $5$ çarpanı içeremediğinden $5|n$ olması gerektiğini görürüz. Buradan yola çıkarak çift yönlü olarak Lemma'yı ispatlamak kolaydır.


Şimdi bu bilgileri kullanarak $n=5^a.u$  olsun ve $u\not \equiv 0(mod5)$ olsun. $u> 2$  ise $u|n$  olduğunda $F_u|F_n$ olur ve $F_u\not \equiv 0(mod5)$ olduğundan çelişki gelir.  ($5$ in kuvveti yazılamaz.) $F_2=1$ olduğundan $u=2$ için buradan çelişki gelmiyor.

O halde $n=5^a$ formatında olmalıdır. $F_5=5$ olduğunu görüyoruz . Öte yandan $F_{25}=3001.5^2$  dir. yani $3001|F_{25}$  bu da bize $a\geq 3$  için $3001|F_{n}$ verir. Çelişki.

Sona kalan olasılık da $n=2.5^a$  dır. $F_{10}=55$  olduğundan sonraki $2.5^a$  formatındaki ifadeler $11|F_n$ sağlamalıdır. Çelişki.

 O halde $5$ in kuvveti olarak yazılabilen tek fibonacci terimi $5$ tir. Ayrıca $1$  de $5$ in $0$ kuvveti olduğundan  $5^w=5$ veya $5^w=1$  gelir. Buradan $w=0$ veya $w=1$  olur. Buradan da üstteki çözüme bağlanmış oluyoruz. Tabi bu değerleri ilk denklemde denemek gerekiyor. Çünkü geçişleri yaparken $(m,n)=1$ almıştık ve ardışık fibonacciler bu durumu daima sağlamak zorunda değil.

Not: Alternatif olarak pisagor parametrizasyonundan gelen $2$ denklemi sistem şeklinde doğrudan çözmeyi deneyebiliriz ancak işin içinden çıkamadım.

Not2: $x^2+D=AB^n$ tipi denklemler Ramanujan Nagell Type Diophantine Equations olarak biliniyor. Vikipedi'deki ilgili yazı incelenebilir. Ancak bu formatta benzer bir soru olimpiyatlara uygun olacak şekilde türetilebileceğini düşünmüyorum. Türünün tek örneği gibi duruyor      Çözümü yaptıktan sonra bu  soruda tek numaralı fibonacci terimi olduğunu bildiğimiz için $2.5^a$ formatı durumuna bakmamıza gerek olmadığını fark ettim.