Cevap: $n=2^x,x\in Z_{\geq 0}$ sayılarıdır. (Sanırım literatürde
Mersenne Sayıları olarak da biliniyor.)
Öncelikle $m^2+9$ ifadesinin $3(mod4)$ formatında tek asalının $3$ olduğunu görebiliriz. Çünkü bu tür $p$ ler için $p|x^2+y^2$ ise $p|x$ ve $p|y$ sağlanır. (Gauss Lemması olarak bilinir.)
$n=2^x$ formatında bulunmayan sayılar için $3$ den farklı bir $p$ bulunabileceğini ispatlayalım.
$n\geq 2$ için $2^n-1\equiv 3(mod4)$ sağlanır. Yani en az $1$ adet $3(mod4)$ asal çarpanı bulunur. Diğer taraftan tek $n$ ler için $2^n-1\equiv 1(mod3)$ gelir. yani $n$ tek olursa $3$ ten farklı bir $p$ asalı vardır. Çelişki.
$n$ çift olmalıdır. $n=2^k$ formatında olsun. Tümevarımla tek $p$ asalının $3$ olduğunu ispatlayalım.
$k=1$ için $2^2-1=3$ , $k=2$ için $2^4-1=3.5$ olur sağlanır.
Varsayalım ki $k-1$ için doğru olsun. O halde $$2^{2^{k-1}} -1$$ olacak şekilde sadece $1$ $3(mod4)$ formatında asal vardır.
O halde $$2^{2^k}-1=(2^{2^{k-1}}-1)(2^{2^{k-1}}+1)$$ formatında olur. Soldaki çarpan tümevarım kabulünden dolayı sadece $1$ adet $3(mod4)$ formunda çarpan içerir.
Sağdaki ise $x^2+1$ formatındaki ifadelerin asla $3(mod4)$ formatında asal çarpan içerememesi kuralından dolayı . (
https://geomania.org/forum/index.php?topic=6419.120 bu linkte 119. soru içinde ispatını yazmıştım.) Bu formatta asal bölen asla içeremez. İspat biter.
Şimdi ise geri kalan durumlarda $n$ ler daima $n=2^k.s$ olacak şekilde $s\geq 3$ olacak ve $s$ tek olacak şekilde yazılabilir.) Bu durumda bariz şekilde $n$ in çarpanlarından birinin $(2^s-1)$ olmak zorunda olduğu görülebilir. $s$ tek olduğu için $2^s-1\not \equiv 0(mod3)$ olur ancak $2^s-1\equiv 3(mod4)$ olur. Dolayısıyla farklı bir $3(mod4)$ formatında asal çarpan içermek zorundadır. Bu da bize $2^n-1|m^2+9$ koşulunun sağlanmasını engeller. Küçük $n$ leri de elle test edelim.
$n=1$ ise $1|m^2+9$ sağlanır.
$n=2$ ise $3|m^2+9$ $m=3a$ tipi $m$ ler için sağlandığı görülebilir.
$n=3$ ise $7 | m^2+9$ olmadığı görülür.
$n=4$ ise $15|m^2+9$ $m=6$ için örnek olarak sağlandığı görülebilir.
$n=5$ ise $31| m^2+9$ olmadığı görülür.
Sonuç olarak sadece $n=2^k$ olacak şekildeki $n$ ler aradığımız listeyi oluşturuyor. Bu formattaki her $n$ için $m$ bulunduğunu ispatlamak için öncelikle $2^n-1$ ifadesinde $3$ ün kuvvetleri maksimum kaç olabilir bunu incelemeliyiz.
$n=2a$ formatında olduğu için $4^a-1$ yazabiliriz. Lifting The Exponent Lemması'nı $v_3$ için uygularsak $v_3(4^a-1)=v_3(4-1)+v_3(a)=1+v_3(a)$ olur. $a=2^{k-1}$ formatında olduğu için $v_3(4^a-1)=1$ olur. O halde $Q\equiv 1(mod4)$ olacak şekilde $2^n-1=3Q$ ,$Q\in Z^+$ vardır ve bu $Q$ sadece $1(mod4)$ tipi asal çarpanlardan oluşur. $m=3m'$ , $m'\in Z^+$ formatında olması gerektiğinden dolayı. $Q|m'^2+1$ olduğunu yani $m^2\equiv -1(modQ)$ elde ederiz. Ve bu denkliğin daima çözümü vardır.
($Q$ sadece $1(mod4)$ asallarından türediği için.)
