Üçgende Açı Model 4.9'un Çözümü

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinden bir $P$ noktası alınıyor. $0^\circ < t < 30^\circ$ olmak üzere, $\angle CBP = 90^\circ - t$, $\angle ABP = 30^\circ$, $\angle BCP = \angle ACP = 30^\circ - t$ dir. Buna göre $\angle BAP=x$ ve $\angle CAP=y$ nin $t$ türünden eşitini bulunuz.

Not: Sitemizde model üçgen - P noktası başlığında verilen 4.9 numarası ile sunulan problem türüdür. Bu başlıkta problemin özel bir hali $(t=20^\circ)$ bulunup, geomania'da henüz genel bir çözüm verilmediği belirtilmişti. Bu sayfada çözümünü sunabiliriz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman Gökçe]:

Trigonometik çözüm yapacağız. Öncelikle, çözümde kullanacağımız birkaç bilgiyi paylaşalım.

Bir Trigonometrik Hile
$x,y,a,b>0^{\circ}$ için $x+y=a+b<180^{\circ}$ olmak üzere
$$\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{\sin a}{\sin b}$$
ise $x=a$ ve $y=b$ dir.



Şimdi çözüme başlayabiliriz. $x + y = 3t$ olduğunu not edelim. Trigonometrik Ceva teoremini uygularsak

$$  \dfrac{\sin x}{\sin y} \cdot  \dfrac{\sin (30^\circ - t)}{\sin (30^\circ - t)} \cdot  \dfrac{\sin (90^\circ - t)}{\sin 30^\circ} = 1 $$

olur. Buradan,

$$
\begin{aligned}
\dfrac{\sin x}{\sin y} &= \dfrac{\sin 30^\circ }{\sin (90^\circ - t)} \\
&= \dfrac{\sin t}{2\cdot \sin t \cdot \cos t} \\
&= \dfrac{\sin t}{\sin 2t} \\
\end{aligned}
$$

elde edilir. $t + 2t = 3t = x + y$ olduğundan trigonometrik hileyi uygulayabiliriz. $x = t$, $y = 2t$ bulunur.

[geo]

Bu sorunun eşdeğeri;
$\angle PAC=\angle PCA = 30^\circ - t$, $\angle ABP=30^\circ$, $\angle BAP = 90^\circ - t$ ise $\angle CBP = ?$



$ABP$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\angle AOP = 2\angle ABP = 60^\circ$ olacağı için $BO=AO=OP=AP=PC$.
$\angle BAO = \angle BAP - \angle OAP = 90^\circ - t - 60^\circ = 30^\circ - t$ olduğu için $\triangle ABO \cong \triangle ACP$. Bu durumda, $AB=AC$ ve $\angle ABC=120^\circ -2t$ olduğu için $\angle ABC = \angle ACB = 30^\circ + t$. Dolayısıyla $\angle PBC = t$ ve $\angle PCB = 2t$ dir.

[AhmetG]

Aynı modele ait farklı bir soruya bir çözüm verelim.

Bir $mABC$ üçgeninin içinde alınan bir $D$ noktası için $m(\widehat{ABD}) = 90^\circ - t$, $m(\widehat{DBC}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{DCA}) = 30^\circ - t$ ölçüleri verilmektedir. Buna göre $m(\widehat{DAC}) = t$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:



$[CD$ ışınını uzatıp $|EB|=|ED|$ olacak şekilde bir $E$ noktası alırsak; $m(\widehat{EBD})=m(\widehat{EDB})=60^\circ-t$ ve $m(\widehat{ABE})=30^\circ$ olur. $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarına göre simetrisini alalım. $m(\widehat{E'BE})=60^\circ$ ve $|E'B|=|EB|$ olacağından $EE'B$ bir eşkenar üçgen olur. Ayrıca $m(\widehat{CBC'}) = 120^\circ+2t$ olduğundan $m(\widehat{BCC'}) = m(\widehat{BC'C}) = 30^\circ-t$ olur. $AC'C$ üçgeninde $C$ ve $C'$ köşesinden çıkan doğrular açıyı üç eşit parçaya bölüp $E'EB$ eşkenar üçgenini oluşturduğundan MORLEY TEOREMİ gereği $[AE]$ ve $[AE']$ doğruları da $A$ açısını üç eşit parçaya ayırır. Dolayısıyla $m(\widehat{CAC'}) = 3t$ olacağından; $m(\widehat{E'AB}) = m(\widehat{BAE}) = t$ olur. Bunun yanında $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{DBC}) = 30^\circ$ olduğundan $[BE]$ ve $[ED]$ doğruları birbirinin izogonal eşleneğidir. İzogonal Eşlenik Teoremine göre; Bir üçgende iki köşeden çizilen izogonal (açıortaya göre simetrik) doğruların kesişim noktaları, üçgenin izogonal eşlenik noktalarıdır ve bu noktaların üçüncü köşeye birleştirilmesiyle oluşan doğrular da simetrik olmak zorundadır. $[CD]$ doğrusu zaten açıortay olduğu için bu teoreme göre $[AE]$ ve $[AD]$ doğruları da izogonal olmak zorundadır. Buradan da $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{BAE}) = t$ sonucuna ulaşılır.