USAMO 1995 P3

[ygzgndgn]

İkizkenar veya dik olmayan $\triangle ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ ve $BC,CA,AB$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $A_1,B_1,C_1$ olsun. $A_2$ noktası $OA_1$ ışını üzerinde bulunan ve $\triangle OAA_1\sim \triangle OA_2A$ olmasını sağlayan bir nokta olsun. $B_2$ ve $C_2$ yi benzer şekilde tanımlayalım. $AA_2,BB_2,CC_2$ doğrularının noktadaş olduğunu ispatlayınız.

[ygzgndgn]

Çözüm. Verilen benzerlikten
$$\frac{OA}{OA_1}=\frac{OA_2}{OA}\Rightarrow OA^2=OA_1\cdot OA_2\Rightarrow pow_{(A_1A_2B)}(O)=OA_1\cdot OA_2=OA^2=OB^2=OC^2$$
elde edilir. Son eşitliklerden çemberde kuvvetten $OB$ doğrusunun $(A_1A_2B)$ çemberine $B$ noktasında teğet olduğunu buluruz. Öte yandan $A_2\in OA_1$ olduğundan $\angle A_2A_1B=90^{\circ}$ sağlanır. Buradan $BA_2$ bu çemberin çapı olarak bulunur. Teğetlikten $\angle OBA_2=90^{\circ}$ elde edilir. $O$ çevrel merkez olduğundan aynı zamanda $A_2B$ doğrusunun $(ABC)$ ye $B$ de teğet olduğunu buluruz. Benzer işlemlerle $A_2C$ nin $(ABC)$ ye $C$ de teğet olduğu elde edilir. Çizilen teğetlerin kesişim noktası $A_2$ olduğundan $AA_2$ doğrusu $AA_1$ in yani kenarortayın izogonali olan A-simedyandır. Diğer doğrular da sırasıyla B-simedyan ve C-simedyan olacaktır. Simedyanların ise ağırlık merkezinin izogonal eşleniği olan Lemoine Noktası'nda kesiştiği bilinen bir bilgidir. O halde $AA_2,BB_2,CC_2$ noktadaştır. İspat biter.

(Bilgi: Bu ispattan $(ABC)$ nin $\triangle A_2B_2C_2$ nin iç teğet çemberi olduğunu ve $O$ nun bu üçgenin iç merkezi olduğunu buluruz.)