$(x,y,z)=(1,2,1)$ bariz bir çözümdür. Bunun dışında çözüm olmadığını göstereceğiz.
Denklemdeki $2$ çarpanı sayısına bakalım. $$v_2(2020^x+2^y)=v_2(2024^z)=z\cdot v_2(2024)=3z$$ olacaktır. $v_2(2020^x)=x\cdot v_2(2020)=2x$ ve $v_2(2^y)=y$'dir. Eğer $v_2(2020^x)\neq v_2(2^y)$ değilse, $x$ ve $y$ pozitif olduğundan, $$v_2(2020^x+2^y)=\min\{v_2(2020^x),v_2(2^y)\}=\min\{2x,y\}=3z$$ bulunur.
$y\leq 2x$ ise $y=3z$ olacaktır. $$2020^x=2024^z-8^z=(2024-8)(2024^{z-1}+2024^{z-2}\cdot 8+\cdots+8^{z-1})\implies 2016\mid 2020^x$$ elde edilir ancak $7\mid 2016$ ve $7\nmid 2020^x$ olduğundan çözüm gelmez.
$y>2x$ ise $2x=3z$'dir. $(x,z)=(3k,2k)$ yazabiliriz. Buradan $y>4k$ ve $$2^y=2024^{2k}-2020^{3k}$$ elde edilir. Eşitliğin sağ tarafı $2024^2-2020^3$'e bölünecektir. Ancak bu sayı $7$'ye bölünür. Bu da bir çelişkidir.
Sonuç olarak $v_2(2020^x)=v_2(2^y)$, yani $2x=y$ bulunur. Bu durumda da $$2020^x+4^x=2024^z$$ elde edilir. $11$ modundan $$2020^x+4^x\equiv 0\pmod{11}\implies (-4)^x+4^x\equiv 0\pmod{11}\implies (-1)^x\equiv -1\pmod{11}$$ bulunur. Yani $x$ tektir. $11\mid 2020+4$ fakat $11\nmid 2020,4$ olduğundan kuvvet kaldırma teoremi uygulayabiliriz, $$v_{11}(2024^z)=z=v_{11}(2020+4)+v_{11}(x)=v_{11}(x)+1$$ bulunur. $z=1$ için $(x,y,z)=(1,2,1)$ çözümü geldiği barizdir. $z>1$ için $x=k\cdot 11^{z-1}$ olarak yazabiliriz. $x\geq 11^{z-1}$ olduğundan $$2024^z\geq 2020^{11^{z-1}}+4^{11^{z-1}}>2020^{11^{z-1}}$$ olacaktır. Sağ tarafın çok daha hızlı büyüdüğü görülebilir, yine de gösterelim, $$2024^z>2020^{11^{z-1}}\implies z\ln{2024}>11^{z-1}\ln{2020}\implies z\cdot \log_{2020}2024>11^{z-1}.$$ Sol taraf bir lineer fonksiyondur, sağ tarafsa üstel bir fonksiyondur. $z=2$ için sol taraf $2$ küsür çıkarken, sağ taraf $11$ olacaktır. Dolayısıyla $z\geq 2$ için bu eşitsizlik yanlıştır. Tek çözüm $(x,y,z)=(1,2,1)$'dir.
