Genç Balkan Matematik Olimpiyadı 2024 Soru 1

[alpercay]

$a,b,c$ pozitif reel sayıları $$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}$$ eşitliğini sağlasınlar. $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ olduğunu kanıtlayın.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Öncelikle JBMO'da eşitsizlik problemi çıkmasına sevindiğimi söyleyeyim. Geçen sene de 2. problemde bir eşitsizlik karşımıza çıkmıştı. Kuvvet Ortalaması Eşitsizliği'yle $2\left(b^2+c^2\right)\geq\left(b+c\right)^2$ olduğunu biliyoruz. Buna göre

$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}}\leq \sum_{cyc}{\dfrac{\sqrt{2}}{\left(a+b\right)}}\overbrace{\leq}^{?} \dfrac{\sqrt{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$$
$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\geq \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$$
Bu noktada sağ tarafla uğraşıldığında
$$1\geq a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)$$
eşitsizliğini göstermemiz gerekir. $a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{4}$ bilgisiyle eşitsizliğin sol tarafını homojenize edersek
$$1=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\geq a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$
temel eşitsizliğine dönüşür ve açıktır. İspat tamamlanır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş JBMO 2024 #1