Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$2^{p+3}+3^{p+2}+5^{p+1}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[emirhanys]

 İfadeyi $2^{p-1}\cdot{2^4}+3^{p-1}\cdot{3^3}+5^{p-1}\cdot{5^2}$ olarak açarsak $\text{Fermat}$ teoreminden bu ifade $2^{4}+3^{3}+5^{2}$'e denk olur. $68$ sayısının asal çarpanlarına gidersek $2,17$ gelir. $2$ adet $p$ asalı vardır.

[Metin Can Aydemir]

İfadeyi $2^{p-1}\cdot{2^4}+3^{p-1}\cdot{3^3}+5^{p-1}\cdot{5^2}$ olarak açarsak $\text{Fermat}$ teoreminden bu ifade $2^{4}+3^{3}+5^{2}$'e denk olur. $68$ sayısının asal çarpanlarına gidersek $2,17$ gelir. $2$ adet $p$ asalı vardır.

Cevabınız doğru fakat ufak bir hata var, $p=2,3,5$ durumunu ayrı incelemeniz gerekiyor çünkü Fermat teoreminin $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ versiyonunda $a$ ile $p$'nin aralarında asal olma koşulu var. Bu yüzden $2^4+3^3+5^2=68$ olması ve $2\mid 68$ olması $p=2$'nin işe yaradığı veya $3$ ile $5$'in sağlamadığı anlamına gelmez, ayrı incelenmesi gerekir. Bunun yerine $a^p\equiv a\pmod{p}$ şeklinde ifade ederseniz, aynı ifadeyi bulursunuz fakat bu sefer aralarında asallık koşulunu da kaldırmış olursunuz.

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{B}$

Fermat teoreminden bir $p$ asalı ve bir $a$ tam sayısı için $a^p\equiv a\pmod p$ olduğunu biliyoruz. Buna göre $2^p\equiv 2\pmod p$, $3^p\equiv 3\pmod p$ ve $5^p\equiv 5\pmod p$ değerlerini toplamda yerine yazarsak
$$2^p\cdot 8+3^p\cdot 9+5^p\cdot 5\equiv 68 \pmod p$$
elde ederiz. Toplamın $p$ ile tam bölünebilmesi için $68\equiv 0\pmod p$ olmalıdır. $68= 2^2\cdot 17$  olduğundan $p=2$  veya  $p=17$ olmalıdır.