Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 23

[matematikolimpiyati]

$x,y,z,t$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $(x^2+y^2)(z^2+t^2)=2024$ ve $xt=yz+40$ ise $xz+yt$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 25  \qquad\textbf{c)}\ 30  \qquad\textbf{d)}\ 40  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{E}$

$xt-yz=40 \implies (xt-yz)^2=40^2 \implies x^2t^2-2xyzt+y^2z^2=1600$

$xz+yt=A \implies (xz+yt)^2=A^2 \implies x^2z^2+2xyzt+y^2t^2=A^2$

taraf tarafa toplarsak $x^2t^2+x^2z^2+y^2z^2+y^2t^2=1600+A^2 \implies x^2(z^2+t^2)+y^2(z^2+t^2) \implies (x^2+y^2)(z^2+t^2)=1600+A^2$

$\implies 2024=1600+A^2 \implies A=2\sqrt{106}$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{E}$

Lagrange özdeşliğinin özel bir hali olan Brahmagupta-Fibonacci özdeşliği olarak bilinen $$(xt-yz)^2+(xz+yt)^2=(x^2+y^2)\cdot(z^2+t^2)$$ özdeşliği kullanılarak da çözüm yapılabilir. Burada $x,y,z,t\in\mathbb{R}$ dir.

Verilenler yerine yazılırsa $$1600+(xz+yt)^2=2024$$  $$xz+yt=\sqrt{424}$$ olup seçeneklerde yoktur.

Not: Çözüm Lokman Gökçe'ye aittir.