Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$n$ futbol takımının katıldığı bir turnuvada her takım ikilisi aralarında tam olarak bir maç yapmıştır ve her bir maç bir takımın galibiyeti veya beraberlik ile sonuçlanmıştır. Tüm maçlar yapıldıktan sonra her takımın kazandığı maç sayısının, berabere kaldığı maç sayısının $1,5$ katı olduğu görülmüştür. Buna göre, $n$ sayısı $9, 10, 11, 12, 13$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Takımları $1$ den $n$ e kadar numaralandırmış olalım. $x_i, y_i$ birer tam sayı olmak üzere, $i$-inci takımın galibiyet sayısı $3x_i$, beraberlik sayısı $2x_i$ ve mağlubiyet sayısı $y_i$ ile gösterilebilir. Toplam galibiyet sayısı ve toplam mağlubiyet sayısı birbirine eşittir. (Problemde bu bir invaryanttır.) Bu durumu,
$$ \sum 3x_i = \sum y_i $$
biçiminde ifade edebiliriz.
Ayrıca her bir takımın galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarının toplamı, yapılan toplam maç sayısının $2$ katına eşit olur. $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ kadar maç yapılmıştır. Böylece,
$$ \sum 3x_i + \sum 2x_i + \sum y_i = 2\dbinom{n}{2} $$
veya
$$ \sum x_i  = \dfrac{n(n-1)}{8} $$
elde edilir. Bu eşitliğin sol tarafı bir tam sayı olduğundan, $\dfrac{n(n-1)}{8} $ ifadesi de bir tam sayı olmalıdır. Böylece verilen değerler arasında yalnızca $n=9$ mümkündür.


Seçenekler, göz önüne alındığında örnek verme gereği görülmeyebilir. Biz yine de uygun bir örnek olduğunu da gösterelim: $n=9$ iken her takım $8$ er maç yapmıştır. $i$-inci takım; $i+1, i+2, i+3$-üncü takımlara karşı kazanmış olsun ve $i+4, i+5$ inci takımlarla berabere kalsın. (Takım numarası değerleri içi gerekirse modülo $9$ kullanarak işlemleri yapınız.) $i$-inci takım, diğer üç takıma ($i-1, i-2$ ve $i-3$'e) karşı da kaybedecektir. Bu örnek tüm koşulları sağlar.