Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Bir dik koordinat düzleminde orijin noktasındaki bir robot, $(0,13),(2,13),(2,-4),(0,-4)$ noktalarının oluşturduğu dikdörtgen bölgenin içine girememektedir. Robot en fazla $8$ birim yol katedebildiğine göre, robotun gidebileceği tüm noktalar kümesinin alanı kaç birim karedir?

$\textbf{a)}\ 29\pi  \qquad\textbf{b)}\ 31\pi  \qquad\textbf{c)}\ 33\pi  \qquad\textbf{d)}\ 35\pi  \qquad\textbf{e)}\ 37\pi$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Robot, koordinat sisteminde $x<0$ bölgesinde $8$ birim yarıçaplı yarım daire içerisinde her yere gidebilir. $x>0$ bölgesine geçebilmesi için tek yol $(0,-4)$ noktasına gidip kalan $4$ birim yol katetme hakkını kullanmasıdır. $x>0$ ve $y<-4$ bölgesinde $4$ birim yarıçaplı çeyrek daire içerisinde istediği yere gidebilir. $y>-4$ bölgesine geçmesi için $(2,-4)$ noktasına gidip kalan $2$ birim hakkını kullanmalıdır. $x>0$ ve $y>-4$ bölgesinde de dikdörtgenin içine girmeden sadece $2$ birim yarıçaplı çeyrek daire içinde kalabilir. Dolayısıyla gidebileceği tüm bölgelerin alanı $$\frac{8^2\pi }{2}+\frac{4^2\pi}{4}+\frac{2^2\pi}{4}=37\pi$$ olacaktır.