Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$30$'un bir tam katı olup tam olarak $30$ pozitif böleni olan en büyük pozitif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının farkı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10530  \qquad\textbf{b)}\ 10620  \qquad\textbf{c)}\ 10710  \qquad\textbf{d)}\ 10800  \qquad\textbf{e)}\ 10890$

[emirhanys]

Yanıt:$\boxed{A}$

$30$'u çarpanlarına ayırırsak $2^{1}$.$3^{1}$.$5^{1}$ olarak yazabiliriz. $30$'un katı ve $30$ pozitif bölenin olmasını istediğimiz için üç üslü ifadenin üslerinin bir fazlasının çarpımı $30$ olmalı. En küçük değer $2^{4}$.$3^{2}$.$5^{1}$ için gelir. En büyük değer ise $2^{1}$.$3^{2}$.$5^{4}$ olur. Birbirinden çıkartırsak $11250-720=10530$. Cevap A şıkkı.

[alpercay]

Yanıt: $\boxed A$

(Resmi Çözüm) $30$ ile bölünen bir sayı $2^a.3^b.5^c.N (a,b,c\ge1)$ şeklinde olup bu sayının bölen sayısı en az $(a+1)(b+1)(c+1)$'dir. Diğer taraftan $30=2.3.5$ olduğuna göre tek seçeneğin $N=1$ ve $\{a,b,c\}=\{1,2,4\}$ olmasıdır. Buna göre, cevap

$2^1.3^2.5^4-2^4.3^2.5^1=11250-720=10530$ dur.