Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 09

[matematikolimpiyati]

Ağırlık merkezi $G$ olan bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde alınan $D$ ve $E$ noktaları için $|AE|=|EC|$ ve $5|BD|=|DC|$ veriliyor. $AD \cap BE = \{F\}$ ise $\dfrac{|BF|}{|FG|}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1/2  \qquad\textbf{b)}\ 2/3  \qquad\textbf{c)}\ 3/4  \qquad\textbf{d)}\ 4/5  \qquad\textbf{e)}\ 5/6$

[yusufipek]

$ADC$ üçgeninde Menelaus Teoremi kullanılarak, $\dfrac{|BF|}{|FE|}=\dfrac25$ bulunur. Ayrıca, $G$, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan $\dfrac{|BG|}{|GE|}=\dfrac21$ olacaktır. Böylece, $|BF|=6k$, $|FG|=8k$, $|GE|=7k$ yazılabilir. Buradan $\dfrac{|BF|}{|FG|}=\dfrac34$ bulunur.

[geo]

$[BC]$ nin orta noktası $M$ olsun.
Elimizdeki bilgiler: $BD:DM:MC=1:2:3$ ve $AG:GM=2:1$.
$\triangle BGM$ de $A,F,D$ noktaları için Menelaus uygularsak $$\dfrac{BF}{FG}\cdot \dfrac{GA}{AM}\cdot \dfrac{MD}{DB}=1 \Longrightarrow \dfrac{BF}{FG}\cdot \dfrac 23 \cdot \dfrac 21 = \dfrac 34 $$ elde edilir.

[geo]

$[BC]$ nin orta noktası $M$ olsun.
Elimizdeki bilgiler: $BD:DM:MC=1:2:3$ ve $AG:GM=2:1$.
$D$ den geçen $BE$ ye paralel olan doğru $AM$ yi $H$ de kessin.

$MH:HG=DM:BD=2:1$. $GH=k$ dersek $HM=2k$ ve $AG=6k$ olur.
$FG:DH=AG:AH=6:7$ ve $DH:BG=MD:BM=2:3$ oranlarını taraf tarafa çarparsak $FG:BG=4:7$ elde ederiz. $FG=4m$ ise $BF=3m$ olacaktır.

[alpercay]

$[BC]$ nin orta noktası $M$ olsun. $A$ ile  $M$ noktalarını birleştirelim. $|BD|=k, |MD|=2k, |MC|=3k$  diyelim. $G$ noktasından $BC$ tabanına çizilen paralelin $AD$ yi kestiği nokta $F$  olsun.

$\triangle ALG$  ve $\triangle ADM$ üçgenlerinin benzerliği ve ağırlık merkezinden dolayı $$AG/AM=GL/2k$$  $$2/3=|GL|/2k$$ $$|GL|=4k/3$$  olur.

$\triangle FGL$ ve $\triangle DBF$ üçgenlerinin benzerliğinden $$BF/FG=3/4$$ bulunur.