Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 07

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $2^{m^2}+2^{n^2} < 2^{2024}$ şartını sağlayan kaç $(m,n)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 5929  \qquad\textbf{b)}\ 6241  \qquad\textbf{c)}\ 7569  \qquad\textbf{d)}\ 7921  \qquad\textbf{e)}\ 8281$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öncelikle $m=0$ ve $n=0$ durumlarını inceleyelim. Bu durumlar simetriktir bu yüzden sadece $n=0$'ı incelemek yeterlidir fakat $(m,n)=(0,0)$'ı iki defa sayacağımızı unutmayalım. $n=0$ için $$1+2^{m^2}<2^{2024}\iff m^2<2024\iff |m|\leq 44$$ olacağından $m=-44,-43,\dots,44$ olur ve $89$ değer bulunur. Simetriden dolayı $m$ veya $n$'nin $0$ olduğu $2\cdot 89-1=177$ ikili vardır.

$m,n\neq 0$ olsun. $(m,n)$ eşitsizliği sağlıyorsa, $(m,-n),(-m,n),(-m,-n)$ de sağlayacağından $m$ ve $n$'yi pozitif kabul edebiliriz. Tüm durumlar için bulduğumuz sonucu $4$ ile çarpmalıyız. $a$ sayısı $m$ ve $n$'nin en büyüğü olsun. O halde, $$2^{a^2}<2^{m^2}+2^{n^2}<2^{2024}\implies a\leq 44$$ bulunur. Bu sınırlandırma altında, $2^{m^2}+2^{n^2}$'nin alabileceği en büyük değer zaten $2^{44^2}+2^{44^2}=2^{1937}$'dir. Dolayısıyla $\max\{m,n\}\leq 44$ seçmek, eşitsizliği otomatik olarak sağlıcaktır. $44$'den küçük veya eşit iki tane pozitif tamsayısı $44^2$ farklı şekilde seçebiliriz. Dolayısıyla, tüm çözümlerin sayısı $$177+4\cdot 44^2=7921$$ bulunur.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $|m|$ veya  $|n|\ge45$ ise sol taraf $2^{2025}$'ten daha büyük olur. $|m|$ veya  $|n|\le44$ ise sol taraf en fazla $2.2^{44^2}=2^{1937}$ olacağı için eşitsizlik sağlanır. Böylece sağlayan $(m,n)$ ikililerinin sayısı $m,n\in \{-44,-43,...,44\}$ olduğundan $89^2=7921$ bulunur.