Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$1^{32}+2^{32}+3^{32}+ \cdots + 2023^{32}+2024^{32}$ toplamının $32$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 26  \qquad\textbf{e)}\ 28$

[yusufipek]

Öncelikle; $2^{32}\equiv 4^{32}\equiv \ldots \equiv 2024^{32}≡0\pmod {32}$ olacağı açıktır. Ayrıca $\phi (32)=16$ olup, Euler Phi Teoreminden, $1^{16}\equiv 3^{16}\equiv \ldots \equiv 2023^{16}\equiv 1 \pmod {32}$ olacağından, $1^{32}\equiv 3^{32}\equiv \ldots \equiv 2023^{32}\equiv 1 \pmod {32}$ olur. O halde, $1^{32}+3^{32}+\ldots +2023^{32}\equiv 1012≡20 \pmod {32}$ olur. Sonuç olarak, $1^{32}+2^{32}+\ldots +2024^{32}$ toplamının $32$ ile bölümünden kalan $20$ dir.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $n$ çiftse, $n^{32}$ sayısı $32$ ile tam bölünür. $n$ tekse, $n^2=8k+1$, $n^4=16k+1$, $n^{8}=32k+1$ formundadır. Dolayısıyla $n^{32}\equiv 1 \pmod {32}$ olur. Bu durumda toplam , $1012=32.32+20$ olduğundan $\bmod {32}$ de $20$ ye denktir.