Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$a$, $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $b^2=ac$ ve $abc=216$ eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre $a$, $b$ ve $c$ sayılarının en küçük ortak katlarının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 54  \qquad\textbf{b)}\ 60  \qquad\textbf{c)}\ 66  \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 78$

[yusufipek]

İkinci eşitlikte $ac$ yerine $b^2$ yazılırsa $b=6$ ve $ac=36$ bulunur. Böylece $(a,b,c)=(1,6,36), (2,6,18), (3,6,12), (4,6,9), (6,6,6), (9,6,4), (12,6,3), (18,6,2), (36,6,1)$ olur. Buradan $a,b,c$ sayılarının en küçük ortak katları ise $36, 18, 12, 6$ olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı ise: $36+18+12+6=72$ olur.

[geo]

$abc=b^3=216=6^3\Longrightarrow b=6, ac=36$
$a,c$ nin en büyük ortak böleni $d$ olsun. $a=dx$, $c=dy$.
$ac=d^2xy=36\Longrightarrow d=1,2,3,6$.

$\text{ekok}(a,c)=dxy$ ve $b=\sqrt{dx\cdot dy}=d\sqrt{xy}$ olduğu için $\text{ekok}(a,b, c)=\text{ekok}(b, \text{ekok}(a,c))=\text{ekok}(d\sqrt{xy}, dxy)=dxy=\dfrac{ac}d=\dfrac {36}d$
$36\left (\dfrac 11+  \dfrac 12 + \dfrac 13 +\dfrac 16\right)=36\cdot 2=72$.