Cevap: $\boxed{A}$
$f(x)=\frac{3x+1}{x+3}$ ve $g(x)=\frac{5x+1}{x+5}$ olsun. $h_1,h_2,\dots,h_{2023}\in \{f,g\}$ olmak üzere $$a_{2024}=h_1\circ h_2\circ \dots\circ h_{2023}(a_1)=h_1\circ h_2\circ \dots\circ h_{2023}(2)$$ formatındadır. Öncelikle $f$ ve $g$'nin bileşkesinin değişme özelliğine sahip olduğunu yani $f\circ g=g\circ f$ olduğunu görelim. Gerçekten de $$(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=\frac{2x+1}{x+2}\text{'dir.}$$ Dolayısıyla $h_i$'lerin sırası önemli değildir ve $k$ defa $f$, $2023-k$ defa $g$ kullanıldıysa, $$a_{2024}=\underset{k\text{ tane }f}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}\circ \underset{2023-k\text{ tane }g}{\underbrace{g\circ g\circ \cdots \circ g}}(2)=(f^{k}\circ g^{2023-k})(2)$$ olacaktır. Burada, eşitlikten de anlaşılacağı gibi $f^n$ ve $g^n$ notasyonları fonksiyonların $n.$ iterasyonudur. Şimdi de her $k$ için $a_{2024}$'ün farklı sonuç alacağını gösterelim. $0\leq m,n\leq 2024$ için $(f^{m}\circ g^{2023-m})(2)=(f^{n}\circ g^{2023-n})(2)$ olsun. Genelliği bozmadan $m\geq n$ olsun. $f$ ve $g$ fonksiyonları $f:\mathbb{R}-\{-3\}\to \mathbb{R}-\{3\}$ ve $g:\mathbb{R}-\{-5\}\to \mathbb{R}-\{5\}$ için birebir örtendir. Bu yüzden verilen eşitliğe fonksiyonların tersini uygulayarak, $$2=g^{n-2023}\circ f^{-n}\circ f^{m}\circ g^{2023-m}(2)=f^{m-n}\circ g^{n-m}(2)=(f\circ g^{-1})^{m-n}(2)$$ olacaktır çünkü benzer şekilde $f $ ve $g^{-1}$ de değişme özelliğine sahiptir, hatta $$f\circ g^{-1}(x)=f\left(\frac{1-5x}{x-5}\right)=\frac{7x+1}{x+7}$$ olacaktır. $x>1$ için $$\frac{7x+1}{x+7}<x\iff 7x+1<x^2+7x\iff 1<x^2$$ olduğundan bunu $m-n$ defa uygularsak, $(f\circ g^{-1})^{m-n}(2)$, eğer $m-n>0$ olursa $2$'den kesin küçük olacaktır. Dolayısıyla $m=n$ olmalıdır. Yani her $k$ değeri için farklı bir $a_{2024}$ değeri elde ederiz. Toplam $2024$ tane $k$ değeri için $2024$ farklı $a_{2024}$ elde ederiz.
