Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 19

[matematikolimpiyati]

$r$ bir gerçel sayı olmak üzere, $5x^4-8x^3+rx^2-11x+10=0$ denkleminin gerçel köklerinin çarpımı $1$ ise gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac65  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac45  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac35  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[diktendik]

Bu soru iptal edilmiştir.

Nedeni:

Polinomun $2$ reel $2$ kompleks kökü olduğunu varsayalım. Denklem soruda verilen koşuldan $5(x^2+ax+1)(x^2+bx+2)$ formatındadır. İki reel kök ilk çarpanda olmalıdır. Buradan $2a+b=\frac{-11}{5}$ ve $a+b=\frac{-8}{5}$ olur. $a=\frac{-3}{5}$ olur. $\Delta<0$ olduğundan ilk carpanın kökleri reel olmaz. (Soruda muhtemelen bu unutulup cevap $\frac{3}{5}$ olarak verildi) $4$ reel kök olamayacağı açıktır. (Kökler çarpımı 2 olmak zorunda olur.) $3$ farklı reel kök olsa denklem $5(x-a)^2(x^2+bx+\frac{2}{a^2})$ formatında olmalıdır. Reel kökler çarpımı $a\cdot\frac{2}{a^2}=1$ olduğundan $a=2$ olur fakat katsayılar istediğimiz gibi dağılmaz. ($4b-2=\frac{-11}{5}$ ve $b-4=\frac{-8}{5}$ olur ortak çözüm gelmez.) Sadece 2 farklı reel kökün olduğu durumda reel kökler $x_1,x_2$, olmak üzere reel  kökler çarpımı $x_1x_2=1$ ve $x_1^{2}x_2^{2}=2$ olmak zorunda olur. Mümkün değildir. Sadece $2$ farklı reel kökün olduğu diğer durumda kökler $x_1,x_1,x_1,x_3$ olabilir. Buradan da $x_1\cdot x_3=1$ ve $x_1^{3}\cdot x_2=2$ olur. $x_1^{2}=2$ olur. Denklem $(x-x_1)^3(x-x_2)$ olur. $x^3$ lü terimin katsayısı tamsayı olmaz. Çözüm gelmez. Çözüm yoktur.

Not:
Ayrıca çözümde "reel kökler çarpımı" ifadesinin farklı köklerin çarpılacağını belirttiği ihtimalde de çözüm gelmeyeceğini ispatladık. Eğer katlı köklerde birden fazla çarpılıyorsa ilk ele aldığımız durum yeterlidir.

[Lokman Gökçe]

İtirazınızın doğru olduğunu düşünüyorum.


Yazdığınız gerekçeleri ve ifadeleri biraz daha sadeleştirebiliriz:

4. dereceden gerçel katsayılı bir polinom denklemin, gerçel çözümlerinin sayısı $0, 2$ veya $4$ olabilir. Çünkü, eşlenik kök teoreminden dolayı, gerçel katsayılı polinom denklemlerin bir $z$ karmaşık sayı kökü varsa $\bar{z}$ eşleniği de bir köktür. Dolayısıyla karmaşık sayı kökler çift sayıdadır. Yani, verilenlere göre köklerden ikisinin gerçel sayı, ikisinin ise gerçel olmayan karmaşık sayı olduğunu anlıyoruz. Üç kök gerçel sayı ve bir kök karmaşık sayı gibi analizleri sunmaya ihtiyaç yoktur.

Cevap 3/5 olarak tasarlanmış olduğu görülüyor. Fakat maalesef, gerçel kök vermesi düşünülen $x^2 - \dfrac{3}{5}x + 1 = 0$ denkleminin diskriminantı negatif gelmektedir. Bu durum, soruyu hatalı yapıyor.